0294-2016 名情复 机械 P325

材料力学 梁的挠度 应力分析 莫尔圆

[1] 図1のような固定はりに等分布荷重$w$が作用している不静定問題を考える。はりの両端に作用する曲げモーメント$M$を求めたい。その準備として，図2および図3に，それぞれ示す，はり1およびはり2の左端のたわみ角を計算する。はりの長さはいずれも$l$であり，はりのヤング率（縦弾性係数）は一定値$E$，断面二次モーメントは一定値$I$とする。
以下の問いに答えよ。

1. 図2のはり1に等分布荷重$w$を作用させたとき，はりの左端のたわみ角${\theta }_1$を求めよ。
2. 図3のはり2の両端に曲げモーメント$M$を作用させたとき，はりの左端のたわみ角${\theta }_2$を求めよ。
3. ${\theta }_1+{\theta }_2=0$を用いて，図1の固定はりの固定端に発生する曲げモーメント$M$を計算せよ。
   

[2] $x-y$平面内での平面応力状態を考える。ある弾性体の1点に，応力成分${\sigma }_x=2p,{\sigma }_y=p$および${\tau }_{xy}=\left(-\sqrt{3}/2\right)p$が発生している。ただし，$p$は正の定数とする。以下の問いに答えよ。

1. 主応力を求めよ。
2. 主せん断応力を求めよ。
3. 主応力，主せん断応力が作用する方向を，$x$軸との間の角度$\theta$として求めよ。

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解答：

[1]
1)
はりの左端を原点とし，右向きに$x$軸，下向きに$y$軸をとる。はり1の曲げモーメント$M_1(x)$は

$$M_1(x)=\frac{wl}{2}x-\frac{w}{2}{x}^2$$
たわみ方程式は
$$EI{y}^{\prime \prime }=-M_1(x)=-\frac{wl}{2}x+\frac{w}{2}{x}^2$$
積分して
$$EI{y}^{\prime }=-\frac{wl}{4}{x}^2+\frac{w}{6}{x}^3+C_1$$
$$EIy=-\frac{wl}{12}{x}^3+\frac{w}{24}{x}^4+C_{1}x+C_2$$
境界条件$x=0$で$y=0$，$x=l$で$y=0$より
$$C_2=0,C_1=\frac{w{l}^3}{24}$$
左端のたわみ角${\theta }_1$は$x=0$における$y^{\prime }$であるから
$$\boxed{{\theta }_1=\frac{w{l}^3}{24EI}}$$

はり2の曲げモーメント$M_2(x)$は一定であり，$M_2(x)=-M$となる。たわみ方程式は

$$EI{y}^{\prime \prime }=-M_2(x)=M$$
積分して
$$EI{y}^{\prime }=Mx+C_3$$
$$EIy=\frac{M}{2}{x}^2+C_{3}x+C_4$$
境界条件$x=0$で$y=0$，$x=l$で$y=0$より
$$C_4=0,C_3=-\frac{Ml}{2}$$
左端のたわみ角${\theta }_2$は$x=0$における$y^{\prime }$であるから
$$\boxed{{\theta }_2=-\frac{Ml}{2EI}}$$

${\theta }_1+{\theta }_2=0$に代入する。

$$\frac{w{l}^3}{24EI}-\frac{Ml}{2EI}=0$$
$$\boxed{M=\frac{w{l}^2}{12}}$$

[2]
1)
平面応力状態の主応力${\sigma }_1,{\sigma }_2$は

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$
与えられた応力成分を代入する。
$${\sigma }_{1,2}=\frac{2p+p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{2p-p}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}p\right)}^2}=\frac{3p}{2}\pm p$$
$$\boxed{{\sigma }_1=\frac{5p}{2},{\sigma }_2=\frac{p}{2}}$$

主せん断応力${\tau }_{\max }$は

$${\tau }_{\max }=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$
$$\boxed{{\tau }_{\max }=p}$$

主応力が作用する方向${\theta }_p$は

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}=\frac{-\sqrt{3}p}{p}=-\sqrt{3}$$
$$2{\theta }_p=-\frac{\pi }{3}+n\pi (n\in \mathbb{Z})$$
主せん断応力が作用する方向${\theta }_s$は
$$\tan 2{\theta }_s=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2{\tau }_{xy}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$2{\theta }_s=\frac{\pi }{6}+n\pi (n\in \mathbb{Z})$$
したがって，$x$軸との間の角度$\theta$は
$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{主応力の方向: }\theta =-\frac{\pi }{6}+\frac{n\pi }{2}(n\in \mathbb{Z})\\ & \text{主せん断応力の方向: }\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{2}(n\in \mathbb{Z})\end{array}}$$

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本题考查了材料力学中超静定梁的求解方法以及平面应力状态下的应力分析。对于超静定梁问题，核心思想是利用叠加原理，将两端固定的梁转化为简支梁在均布载荷作用下以及简支梁在端部弯矩作用下的两种基本情况的叠加。通过建立挠曲线近似微分方程，结合简支梁两端位移为零的边界条件求解积分常数，得到梁端部的挠角表达式。利用固定端处挠角为零的几何相容条件建立方程，即可解出固定端未知的约束弯矩。第二部分属于经典的平面应力状态分析，利用应力转轴公式导出的解析法或莫尔圆几何性质，将给定的三个应力分量直接代入主应力和最大切应力的计算公式即可快速求解，在计算作用面方向时需考虑三角函数周期性带来的一般解表示。