0291-2016 名情复 数学 P297

常微分方程 一阶线性微分方程 伯努利方程 Logistic方程

記号$(\cdots {)}^{\prime }$は$x$についての1階微分を表すこととし，以下の各問に答えよ。

[1] 線形微分方程式

$$f^{\prime }(x)+p(x)f(x)=q(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
を考える。

1. 同次方程式（$q(x)=0$の場合）を満たす$f(x)$を，積分定数を含む$x$の関数として求めよ。
2. 1)の解における積分定数を$x$の関数とみなして，定数変化法により，非同次方程式(1)を解き，$f(x)$を積分定数を含む$x$の関数として求めよ。

[2] 非線形常微分方程式

$$g^{\prime }(x)+p(x)g(x)=q(x)(g(x){)}^n\text{\hspace{1em}(2)}$$
を考える。$n$は2以上の自然数である。$z(x)=g(x{)}^{1-n}$と変数変換することにより，(2)を$z(x)$についての線形微分方程式に変換して解き，$g(x)$を積分定数を含む$x$の関数として求めよ。

[3] 非線形常微分方程式

$$\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=r\left(1-\frac{N(t)}{K}\right)N(t)\text{\hspace{1em}(3)}$$
を考える。ただし$r,K$は全て正の定数とする。

1. 初期条件を$N(0)=N_0(>0)$として，(3)を満たす$N(t)$を求めよ。
2. $N_0>K$および$N_0<K$のそれぞれの場合について，$N(t)$を$t$の関数として図示せよ。

---

解答：

[1]
1)

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)+p(x)f(x)& =0\\ \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}& =-p(x)\\ \int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x& =-\int p(x)\mathrm{d}x\\ \ln |f(x)|& =-\int p(x)\mathrm{d}x+C_1\end{array}$$
$$\boxed{f(x)=C\exp \left(-\int p(x)\mathrm{d}x\right)(C\text{は任意の積分定数})}$$

$f(x)=C(x)\exp \left(-\int p(x)\mathrm{d}x\right)$ とおき、(1)に代入する。

$$\begin{array}{rl}{C}^{\prime }(x)\exp \left(-\int p(x)\mathrm{d}x\right)& =q(x)\\ C^{\prime }(x)& =q(x)\exp \left(\int p(x)\mathrm{d}x\right)\\ C(x)& =\int q(x)\exp \left(\int p(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x+C\end{array}$$
$$\boxed{f(x)=\exp \left(-\int p(x)\mathrm{d}x\right)\left\{\int q(x)\exp \left(\int p(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x+C\right\}(C\text{は任意の積分定数})}$$

[2]
式(2)の両辺を $(g(x){)}^n$ で割る。

$$g^{-n}(x)g^{\prime }(x)+p(x)g^{1-n}(x)=q(x)$$
$z(x)=(g(x){)}^{1-n}$ の両辺を $x$ で微分すると、$z^{\prime }(x)=(1-n)(g(x){)}^{-n}{g}^{\prime }(x)$ となる。これを代入する。
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1-n}{z}^{\prime }(x)+p(x)z(x)& =q(x)\\ z^{\prime }(x)+(1-n)p(x)z(x)& =(1-n)q(x)\end{array}$$
これは $z(x)$ についての1階線形常微分方程式である。[1]の2)の結果において、$p(x)\to (1-n)p(x)$、$q(x)\to (1-n)q(x)$ と置き換えることで解が得られる。
$$z(x)=\exp \left(\int (n-1)p(x)\mathrm{d}x\right)\left\{\int (1-n)q(x)\exp \left(\int (1-n)p(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x+C\right\}$$
$g(x)=(z(x){)}^{\frac{1}{1-n}}$ より、
$$\boxed{\begin{array}{rl}& g(x)=\\ & {\left[\exp \left(\int (n-1)p(x)\mathrm{d}x\right)\left\{\int (1-n)q(x)\exp \left(\int (1-n)p(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x+C\right\}\right]}^{\frac{1}{1-n}}\end{array}}$$
（ただし $C$ は任意の積分定数）

[3]
1)
変数分離法を用いる。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}& =\frac{r}{K}N(K-N)\\ \left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)\mathrm{d}N& =r\mathrm{d}t\\ \int \left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)\mathrm{d}N& =\int r\mathrm{d}t\\ \ln \left|\frac{N}{K-N}\right|& =rt+C_1\\ \frac{N}{K-N}& =A{e}^{rt}(A=\pm e^{C_1})\end{array}$$
$t=0$ のとき $N(0)=N_0$ であるから、$A=\frac{N_0}{K-N_0}$。
$$\begin{array}{rl}\frac{N(t)}{K-N(t)}& =\frac{N_0}{K-N_0}{e}^{rt}\\ N(t)(K-N_0)& =N_0(K-N(t))e^{rt}\\ N(t)(K-N_0+N_0{e}^{rt})& =K{N}_0{e}^{rt}\\ N(t)& =\frac{K{N}_0{e}^{rt}}{K-N_0+N_0{e}^{rt}}\end{array}$$
分母分子を $e^{rt}$ で割って整理する。
$$\boxed{N(t)=\frac{K{N}_0}{N_0+(K-N_0)e^{-rt}}}$$

（グラフの概形に関する特徴）
横軸を $t$、縦軸を $N(t)$ とする。漸近線はいずれも $N=K$ である。

• $N_0<K$ の場合：
  点 $(0,N_0)$ から出発し、単調に増加する。初期は指数関数的に成長するが、徐々に成長速度が鈍化し、$t\to \infty$ で下から $N=K$ に漸近するS字型のロジスティック曲線となる。
• $N_0>K$ の場合：
  点 $(0,N_0)$ から出発し、下に凸の形状を保ったまま単調に減少する。$t\to \infty$ で上から $N=K$ に漸近する曲線となる。

---

本题涵盖了常微分方程的基础核心内容。第一题通过常数变易法推导了一阶线性常微分方程的通解公式。第二题引入了著名的伯努利微分方程（Bernoulli differential equation），通过变量代换 $z=g^{1-n}$ 将非线性方程转化为可用第一题结论直接求解的线性方程。第三题是生态学中经典的逻辑斯谛增长模型（Logistic equation），利用分离变量法即可求解，其解展现了种群在环境容纳量 $K$ 限制下的增长行为。作图时需特别注意 $N=K$ 这一水平渐近线以及不同初始值对应的曲线单调性和凹凸性变化。