0290-2016 名情复 数学 P296

线性代数 矩阵的秩 零空间 正交补 二次型 正交变换

[1] 行列

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -1& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)$$
に対して次の小問に答えよ。

1. $A$ の階数 $r$ を求めよ。
2. $A\mathbf{x}=0$ を満たす3次元ベクトル $\mathbf{x}$ がつくるベクトル空間を $V$ とする。$V$ の次元数 $p$ を答えよ。
3. $A\mathbf{x}=0$ を満たす $\mathbf{x}$ がつくる $p$ 次元ベクトル空間 $V$ を示せ。
4. $V$ と直交するベクトル空間 $U$ を示せ。

[2] 2次元ベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ に対する2次形式

$$f(\mathbf{x})=5x_1^2+3x_2^2-2\sqrt{3}{x}_1{x}_2$$
について次の小問に答えよ。

1. $f(\mathbf{x})$ をベクトル $\mathbf{x}$ と適当な行列を用いてかきかえよ。
2. $\mathbf{x}$ に適当な正規直交変換を施して $f(\mathbf{x})$ を対角行列を用いた式にかきかえよ。

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解答：

[1]
1)

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -1& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
$$\boxed{r=2}$$

$$p=3-r=3-2$$
$$\boxed{p=1}$$

$$A\mathbf{x}=0⟺\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
$$\begin{array}{rl}-x_1+x_2+x_3& =0\\ x_2+x_3& =0\end{array}$$
$x_3=c$ とおくと、$\mathbf{x}=c\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$
$$\boxed{V=\left\{c\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)|c\in \mathbb{R}\right\}}$$

$\mathbf{y}\in U$ とすると、$\forall \mathbf{v}\in V,{\mathbf{v}}^T\mathbf{y}=0$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=0⟹y_2=y_3$$
$$\mathbf{y}=y_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+y_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
$$\boxed{U=\left\{c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)|c_1,c_2\in \mathbb{R}\right\}}$$

[2]
1)

$$f(\mathbf{x})=5x_1^2+3x_2^2-2\sqrt{3}{x}_1{x}_2=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$
$$\boxed{f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T\left(\begin{array}{cc}5& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 3\end{array}\right)\mathbf{x}}$$

行列 $B=\left(\begin{array}{cc}5& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 3\end{array}\right)$ の固有値 $\lambda$ を求める。

$$|\lambda I-B|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -5& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& \lambda -3\end{array}\right|=(\lambda -6)(\lambda -2)=0$$
$${\lambda }_1=6,{\lambda }_2=2$$
${\lambda }_1=6$ のとき、固有ベクトル ${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$
${\lambda }_2=2$ のとき、固有ベクトル ${\mathbf{u}}_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$
直交行列 $P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& 1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)$ による変換 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ を施す。
$$\begin{array}{rl}f(\mathbf{x})& =(P\mathbf{y}{)}^{T}B(P\mathbf{y})\\ & ={\mathbf{y}}^T(P^{T}BP)\mathbf{y}\\ & ={\mathbf{y}}^T\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\mathbf{y}\end{array}$$
$$\boxed{f(\mathbf{x})={\mathbf{y}}^T\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\mathbf{y}\left(\text{ただし、}\mathbf{x}=P\mathbf{y},P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& 1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)\text{とする}\right)}$$

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本题主要考察了矩阵的初等变换以及实对称矩阵的正交相似对角化方法。在第一部分中，通过对矩阵进行初等行变换可以直接得到矩阵的秩，根据秩-零化度定理可计算出解空间的维数，进而通过求解齐次线性方程组获得零空间及其正交补空间的基向量与集合表示。第二部分则需要先提取出二次型对应的对称矩阵，通过求解该矩阵的特征值与正交化后的特征向量构造出正交变换矩阵，最终通过正交变换消去交叉项，将二次型转化为仅含有平方项的对角矩阵形式。