0289-2015 名情复 机械 P292

控制学 控制理论 闭环传递函数 根轨迹 频率响应

時間関数 $f(t)$ のラプラス変換された関数を $F(s)$ のように書くことにする。

図1に示すブロック線図のフィードバック制御系について，以下の問いに答えよ。ただし，図中の $K$ は非負の実数である。

[1] 一巡伝達関数（開ループ伝達関数）$L(s)$ を求めよ。

[2] 入力 $R(s)$ から出力 $Y(s)$ までの伝達関数（閉ループ伝達関数）$G(s)$ を求めよ。

[3] $K$ の値を $0$ から $\infty$ まで連続的に変化させたときに，系の特性方程式の根が複素平面上に描く軌跡を根軌跡という。実軸上の部分を除く根軌跡が円であることを証明せよ。また，円の中心座標と半径を数値で示せ。

[4] 根軌跡（実軸上の部分を含む）を描け。なお，図中に $K=1$ としたときの一巡伝達関数の極を $\times$ 印，零点を $◯$ 印で示すとともに，それらの座標値を示せ。

[5] ステップ応答が振動的である場合に，減衰係数が最も小さくなる $K$ の値を求めよ。

[6] 入力 $r(t)=10\sin (2t)$ が与えられるとき，定常状態における出力 $y(t)$ を求めよ。ただし，$K=1$ とする。

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解答：

[1]
ブロック線図より、マイナーループ（内側のフィードバックループ）の伝達関数 $G_1(s)$ は、

$$G_1(s)=\frac{\frac{1}{s}}{1+\frac{1}{s}}=\frac{1}{s+1}$$

コントローラの伝達関数 $C(s)$ は、

$$C(s)=K+\frac{2K}{s}=\frac{K(s+2)}{s}$$

したがって、一巡伝達関数 $L(s)$ はこれらを直列結合したものであるから、

$$\boxed{L(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)}}$$

[2]
閉ループ伝達関数 $G(s)$ は、

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{L(s)}{1+L(s)}\\ & =\frac{\frac{K(s+2)}{s(s+1)}}{1+\frac{K(s+2)}{s(s+1)}}\\ & =\frac{K(s+2)}{s(s+1)+K(s+2)}\end{array}$$ $$\boxed{G(s)=\frac{K(s+2)}{s^2+(K+1)s+2K}}$$

[3]
特性方程式は $1+L(s)=0$ より、

$$s^2+(K+1)s+2K=0$$

これを $K$ について解くと、

$$K=-\frac{s(s+1)}{s+2}$$

根軌跡上の点 $s$ を $s=\sigma +j\omega$ ($\sigma ,\omega$ は実数) とおく。$K$ は実数であるため、上式の虚部は $0$ となる。

$$\begin{array}{rl}K& =-\frac{(\sigma +j\omega )(\sigma +1+j\omega )}{\sigma +2+j\omega }\\ & =-\frac{(\sigma (\sigma +1)-{\omega }^2+j\omega (2\sigma +1))(\sigma +2-j\omega )}{(\sigma +2{)}^2+{\omega }^2}\end{array}$$

虚部を取り出して $0$ と置く。

$$-\omega ({\sigma }^2+\sigma -{\omega }^2)+\omega (2\sigma +1)(\sigma +2)=0$$

実軸上の部分を除くため $\omega \ne 0$ として両辺を $\omega$ で割ると、

$$-({\sigma }^2+\sigma -{\omega }^2)+2{\sigma }^2+5\sigma +2=0$$ $${\sigma }^2+4\sigma +{\omega }^2+2=0$$

平方完成を行うと、

$$(\sigma +2{)}^2+{\omega }^2=2=(\sqrt{2}{)}^2$$

これは複素平面上における円の方程式を表している。(証明終)
円の中心座標と半径は、

$$\boxed{\text{中心座標: }(-2,0),\text{半径: }\sqrt{2}}$$

[4]
根軌跡の描画において、座標情報は以下の通りである。
$K=1$ のときの極と零点：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{極 }(\times \text{印}):(0,0),(-1,0)\\ & \text{零点 }(◯\text{印}):(-2,0)\\ & \text{根軌跡の実軸上の軌跡}:[-1,0]\text{ および }(-\infty ,-2]\\ & \text{複素平面上の軌跡}:\text{中心 }(-2,0)\text{、半径 }\sqrt{2}\text{ の円（分離点 }-2+\sqrt{2}\text{、合流点 }-2-\sqrt{2}\text{）}\end{array}}$$

[5]
特性方程式 $s^2+(K+1)s+2K=0$ を標準形 $s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$ と比較する。

$${\omega }_n=\sqrt{2K},2\zeta {\omega }_n=K+1$$ $$\zeta =\frac{K+1}{2\sqrt{2K}}$$

減衰係数 $\zeta$ を最小化する $K$ を求めるため、$K$ で微分して $0$ と置く。

$$\frac{d\zeta }{dK}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1\cdot \sqrt{K}-(K+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{K}}}{K}\right)=0$$

分子が $0$ となるため、

$$\sqrt{K}-\frac{K+1}{2\sqrt{K}}=0⟹2K-(K+1)=0⟹K=1$$

$K=1$ のとき $\zeta =1/\sqrt{2}\approx 0.707<1$ であり、ステップ応答は振動的となる条件を満たす。

$$\boxed{K=1}$$

[6]
$K=1$ のとき、閉ループ伝達関数は $G(s)=\frac{s+2}{s^2+2s+2}$ となる。
入力 $r(t)=10\sin (2t)$ に対する定常応答を求めるため、周波数伝達関数 $G(j\omega )$ に $\omega =2$ を代入する。

$$G(j2)=\frac{j2+2}{(j2{)}^2+2(j2)+2}=\frac{2+j2}{-4+j4+2}=\frac{2+j2}{-2+j4}$$

分母分子を $2$ で割り、有利化する。

$$G(j2)=\frac{1+j}{-1+j2}=\frac{(1+j)(-1-j2)}{(-1{)}^2+2^2}=\frac{-1-j2-j+2}{5}=\frac{1-j3}{5}$$

振幅ゲインと位相角は、

$$|G(j2)|=\frac{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}{5}=\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{\frac{2}{5}}$$ $$\angle G(j2)=\arctan \left(\frac{-3}{1}\right)=-\arctan (3)$$

したがって、定常状態における出力 $y(t)$ は、

$$y(t)=10\cdot |G(j2)|\sin (2t+\angle G(j2))=10\frac{\sqrt{10}}{5}\sin (2t-\arctan (3))$$ $$\boxed{y(t)=2\sqrt{10}\sin (2t-\arctan 3)}$$

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本题是一道非常经典的控制工程综合题。首先需要通过方框图的代数运算化简系统，其中包含一个单位负反馈的内环，化简内环后再与前向通道的PI控制器相乘即可得到开环传递函数。利用开环传递函数求出闭环特征方程后，推导根轨迹方程的方法是把特征方程中的参数用复变数表示，并利用根轨迹上点的特征方程恒成立这一条件，分离实部与虚部，令虚部为零即可配方出圆的方程，从而得到圆心和半径。绘制根轨迹时通常只需标注开环极点和开环零点，并且利用相角条件判断实轴上的根轨迹区间。系统为二阶系统，阻尼比可以直接由特征方程系数比对得出，求极值只需对参数求导并令导数为零即可。最后求解正弦稳态响应属于频率响应的范畴，只需将传递函数中的复变量替换为虚数单位乘以输入信号的角频率，计算出该频率下的幅值和相角，将其分别乘加到原正弦信号的振幅和相位上即可得到最终结果。