0288-2015 名情复 机械 P291

流体力学 势流理论 不可压缩流体 计算流体力学

[1] 二次元空間（$x-y$平面）における非圧縮渦なし流れについて，以下の問いに答えよ。ただし，$x$および$y$方向の速度成分をそれぞれ$u$および$v$とする。

1. 速度ポテンシャル$\varphi$と速度成分の関係を説明せよ。
2. 流れ関数$\psi$と，速度成分，流線，流量の関係について説明せよ。
3. 速度ポテンシャル$\varphi$および流れ関数$\psi$は，それぞれラプラス方程式を満たすことを示せ。
4. $\varphi =$一定の線と$\psi =$一定の線は直交することを示せ。

[2] 流体の運動に関連した以下の用語について，それぞれ100字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよい。

1. Bernoulli の定理
2. Froude 数
3. 後流
4. 計算流体力学

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解答：

[1]
1)
速度ポテンシャル $\varphi$ の空間勾配が速度ベクトルとなる。

$$\boxed{u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}}$$

速度成分との関係：

$$\boxed{u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}}$$

流線との関係：

$$\boxed{\text{流線は }\psi (x,y)=\text{一定 の曲線として表される。}}$$

流量との関係：

$$\boxed{\text{任意の2つの流線 }{\psi }_1,{\psi }_2\text{ 間の単位奥行き当たりの体積流量 }Q\text{ は }Q=|{\psi }_1-{\psi }_2|\text{ となる。}}$$

非圧縮性条件 $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$ より、

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

$\varphi$ の定義式を代入すると、

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=0$$

したがって、$\varphi$ はラプラス方程式を満たす。
渦なし条件 $\nabla \times \mathbf{v}=0$ の $z$ 成分より、

$$\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$$

$\psi$ の定義式を代入すると、

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)=-\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}\right)=0$$

したがって、$\psi$ もラプラス方程式を満たす。(証明終)

$\varphi =\text{一定}$ の曲線の法線ベクトル ${\mathbf{n}}_{\varphi }$ は、

$${\mathbf{n}}_{\varphi }=\nabla \varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)=(u,v)$$

$\psi =\text{一定}$ の曲線の法線ベクトル ${\mathbf{n}}_{\psi }$ は、

$${\mathbf{n}}_{\psi }=\nabla \psi =\left(\frac{\partial \psi }{\partial x},\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)=(-v,u)$$

両者の内積をとると、

$${\mathbf{n}}_{\varphi }\cdot {\mathbf{n}}_{\psi }=u(-v)+v(u)=0$$

法線ベクトルが直交するため、$\varphi =\text{一定}$ の線と $\psi =\text{一定}$ の線は直交する。(証明終)

[2]
1)
非粘性流体の定常流れにおいて、同一流線上で圧力、速度、位置エネルギーの和が一定となるという定理。$\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2}+gz=一定$ で表される。

流体の慣性力と重力の比を表す無次元数であり、$Fr=\frac{U}{\sqrt{gL}}$で定義される。主に開水路流れや船の造波抵抗などの重力が支配的な現象の解析に用いられる。

物体が流体中を運動する際、あるいは流れの中に物体が置かれた際に、物体の背後に形成される速度が減速し乱れた流れの領域。流れの剥離によって生じ、形状抵抗の主な原因となる。

流体の運動を支配するナビエ・ストークス方程式などの微分方程式をコンピュータを用いて数値的に近似して解く手法。複雑な流れ場の速度や圧力分布をシミュレーションするために用いる。

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本题主要考察了流体力学中二维无黏不可压缩无旋流动的势流理论以及流体力学基本术语。对于第一部分，势函数的梯度即为速度矢量，而流函数则是通过偏导数定义的正交函数，两者分别利用不可压缩条件（散度为零）和无旋条件（旋度为零）即可证明满足拉普拉斯方程，且通过计算两者等势线的法向量点积为零，可证明两者的等值线族在空间中处处正交。对于第二部分的术语解释，伯努利定理本质上是无黏流体的能量守恒定律；弗劳德数作为流体力学重要无量纲数，反映了惯性力与重力的相对大小；尾流是绕流物体发生边界层分离后在后方产生的低压紊流区；计算流体力学（CFD）则是利用数值计算方法求解流体控制方程的一门现代流体力学分支学科。