0287-2015 名情复 机械 P290

材料力学 静不定梁 莫尔定理 应力状态分析

[1] 図1のような一端固定，他端支持はりを考える。図1のはりの右の支点に作用する反力$R$を求めたい。その準備として，それぞれ図2および図3に示すはり1およびはり2の右端の$y$方向変位を計算する。はりの長さはいずれも$\ell$であり，はりの任意の位置$x$においてヤング率（縦弾性係数）は一定値$E$を，断面二次モーメントは一定値$I$をとるものとする。以下の問に答えよ。

1. はり1の右端に集中荷重$R$を作用させたとき，右端の変位$u_1$を求めよ。
2. はり2の左端から$a$の場所に集中荷重$P$を作用させたとき，右端の変位$u_2$を求めよ。
3. $u_1+u_2=0$を使って，一端固定，他端支持はりの支点反力$R$を計算せよ。
   
   

[2] 一辺が$a$である単位厚さの微小正方形板に作用している二次元応力を図4に示す。また，その正方形板内部に角度$\theta$だけ傾いた仮想断面を考える。以下の問に答えよ。

1. 点Aまわりのモーメントのつり合いを考えて，

$${\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$$

を示せ。
2) 仮想断面に作用する垂直応力${\sigma }_n$とせん断応力${\tau }_n$を示せ。
3) せん断応力${\tau }_n$が0となるときの$\theta$を求める式を示せ。また，主応力${\sigma }_1$と${\sigma }_2$を求めるための式も示せ。

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解答：

[1]
1)
曲げモーメント $M(x)=-R(\ell -x)$
たわみの微分方程式は $EI{u}_1^{\prime \prime }=-M(x)=R(\ell -x)$
積分して

$$EI{u}_1^{\prime }=R\left(\ell x-\frac{1}{2}{x}^2\right)+C_1$$ $$EI{u}_1=R\left(\frac{1}{2}\ell x^2-\frac{1}{6}{x}^3\right)+C_{1}x+C_2$$

境界条件 $x=0$ で $u_1=0,u_1^{\prime }=0$ より $C_1=0,C_2=0$。
$x=\ell$ での変位は

$$EI{u}_1(\ell )=R\left(\frac{1}{2}{\ell }^3-\frac{1}{6}{\ell }^3\right)=\frac{R{\ell }^3}{3}$$

したがって、

$$\boxed{u_1=-\frac{R{\ell }^3}{3EI}}(y\text{軸下向きを正とする})$$

$0\le x\le a$ での曲げモーメント $M(x)=P(a-x)$
たわみの微分方程式は $EI{u}_{21}^{\prime \prime }=-M(x)=-P(a-x)$
積分して

$$EI{u}_{21}^{\prime }=-P\left(ax-\frac{1}{2}{x}^2\right)+C_3$$ $$EI{u}_{21}=-P\left(\frac{1}{2}a{x}^2-\frac{1}{6}{x}^3\right)+C_{3}x+C_4$$

境界条件 $x=0$ で $u_{21}=0,u_{21}^{\prime }=0$ より $C_3=0,C_4=0$。
$x=a$ でのたわみ角とたわみは

$$u_{21}^{\prime }(a)=-\frac{P{a}^2}{2EI},u_{21}(a)=-\frac{P{a}^3}{3EI}$$

$a\le x\le \ell$ では曲げモーメントは0であるため、はりの変形は直線となる。
したがって、右端 $x=\ell$ での変位は

$$u_2=u_{21}(a)+u_{21}^{\prime }(a)(\ell -a)=-\frac{P{a}^3}{3EI}-\frac{P{a}^2}{2EI}(\ell -a)=\frac{P{a}^2(a-3\ell )}{6EI}$$

下向きを正とすると、

$$\boxed{u_2=\frac{P{a}^2(3\ell -a)}{6EI}}$$

上向きの変位を負、下向きを正として、$u_1$ は上向き荷重なので $u_1=-\frac{R{\ell }^3}{3EI}$、$u_2$ は下向き荷重なので $u_2=\frac{P{a}^2(3\ell -a)}{6EI}$ である。
$u_1+u_2=0$ より

$$-\frac{R{\ell }^3}{3EI}+\frac{P{a}^2(3\ell -a)}{6EI}=0$$ $$\frac{R{\ell }^3}{3}=\frac{P{a}^2(3\ell -a)}{6}$$ $$\boxed{R=\frac{P{a}^2(3\ell -a)}{2{\ell }^3}}$$

[2]
1)
点Aまわりのモーメントのつり合いを考える。板の厚さを $t=1$ とする。
反時計回りを正とする。
上面のせん断応力による力 ${\tau }_{xy}\cdot a\cdot 1$ は、腕の長さ $a$ でモーメント ${\tau }_{xy}{a}^2$ を生じる。
右側面のせん断応力による力 ${\tau }_{yx}\cdot a\cdot 1$ は、腕の長さ $a$ でモーメント $-{\tau }_{yx}{a}^2$ を生じる。
垂直応力による力は点Aを通過するか、または相殺されるためモーメントを生じない。
モーメントのつり合い方程式より

$${\tau }_{xy}{a}^2-{\tau }_{yx}{a}^2=0$$ $${\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$$

(証明終)

仮想断面の法線方向を $n$ 軸、接線方向を $s$ 軸とする。
断面の微小面積を $dA$ とすると、斜面を構成する水平面と垂直面の面積はそれぞれ $dA\sin \theta$ と $dA\cos \theta$ である。
$n$ 軸方向の力のつり合いより

$${\sigma }_{n}dA={\sigma }_x(dA\cos \theta )\cos \theta +{\sigma }_y(dA\sin \theta )\sin \theta +{\tau }_{xy}(dA\cos \theta )\sin \theta +{\tau }_{yx}(dA\sin \theta )\cos \theta$$

${\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$ を用いて整理すると

$$\boxed{{\sigma }_n={\sigma }_x{\cos }^2\theta +{\sigma }_y{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta =\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta }$$

$s$ 軸方向の力のつり合いより

$${\tau }_{n}dA=-{\sigma }_x(dA\cos \theta )\sin \theta +{\sigma }_y(dA\sin \theta )\cos \theta +{\tau }_{xy}(dA\cos \theta )\cos \theta -{\tau }_{yx}(dA\sin \theta )\sin \theta$$

整理すると

$$\boxed{{\tau }_n=-({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta }$$

${\tau }_n=0$ となる角度を主応力方向 ${\theta }_p$ とする。

$$-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2{\theta }_p+{\tau }_{xy}\cos 2{\theta }_p=0$$ $$\boxed{\tan 2{\theta }_p=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}}$$

主応力 ${\sigma }_{1,2}$ は ${\sigma }_n$ の極値であり、上式を ${\sigma }_n$ の式に代入して整理すると得られる。

$$\boxed{{\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}$$

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本题考查了材料力学中超静定梁的求解以及平面应力状态的分析对于第一部分利用叠加原理将一端固定另一端简支的超静定梁分解为悬臂梁受端部集中力和中间集中力两种基本情况分别求出自由端的挠度再利用变形协调条件即支座处总挠度为零来求解未知的支座反力在求挠度时使用积分法列出弯矩方程积分并代入边界条件即可求解第二部分推导剪应力互等定理时取微元体通过对一点取矩平衡即可得出推导斜截面上的应力时利用微元体的静力平衡条件在法向和切向分别列出方程即可得到相应的垂直应力和剪应力公式当剪应力为零时该平面为主平面对应的应力即为主应力其方向和大小的计算公式也是材料力学中的经典公式。