0285-2015 名情复 机械 P266

力学 分析力学 常微分方程 拉格朗日方程

図のように，$x-y$平面上を，十分な長さのパイプが原点を中心にして角速度$\omega (>0)$で回転している。その中に閉じ込められた質量$m$の小球の運動を考える。小球とパイプの内面の摩擦および重力はないとする。

[1] 小球の運動エネルギー$T$をパイプの中の座標$r(-\infty <r<\infty ;\text{原点で}r=0)$やその時間微分$\dot{r}(=dr/dt)$および$m,\omega$などを使って書け。

[2] 小球の運動に関するラグランジアン$L$を求めよ。

[3] オイラー・ラグランジュ方程式を書いて，小球の運動に関する運動方程式を求めよ。

[4] 運動方程式を解いて，小球の軌道$r(t)$を求めよ。ただし，初期位置を$r(t=0)=r_0$，初期速度を$\dot{r}(t=0)=v_0$とする。

[5] 回転するパイプの中の小球の運動は，以下のように1次元系の運動に置き換えることができる。

1. [3]で得た運動方程式を関数$\tilde{U}(r)=-m{\omega }^2{r}^2/2$を用いて書き換えることによって，パイプの中の小球の運動が1次元空間中のポテンシャル$\tilde{U}(r)$の中の小球の運動を表すことを示せ。
2. この系の運動エネルギー$\tilde{T}$と$\tilde{U}(r)$の和である力学的エネルギー$E=\tilde{T}+\tilde{U}$は一定である。このとき，初期位置$r_0(>0)$に対して，$E$がゼロとなるような小球の初期速度$v_0(<0)$を求めよ。
3. 2. のときの小球の軌道$r(t)$を求めよ。このとき，小球はパイプの中をどのように運動するか説明せよ。

[6] 初期位置$r_0(>0)$を一定として，初期速度$v_0$を変えると小球の運動はどのように変化するか。小球の軌道$r(t)$を$v_0$の値で場合分けして説明せよ。

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解答：

[1]
小球の直交座標 $(x,y)$ は $(x,y)=(r\cos \omega t,r\sin \omega t)$ と表される。
速度の2乗は ${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=(\dot{r}\cos \omega t-r\omega \sin \omega t{)}^2+(\dot{r}\sin \omega t+r\omega \cos \omega t{)}^2={\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2$ となるため、運動エネルギー $T$ は

$$\boxed{T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2)}$$

[2]
ポテンシャルエネルギー $U=0$ であるため、ラグランジアン $L=T-U$ は

$$\boxed{L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2)}$$

[3]
オイラー・ラグランジュ方程式は

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0$$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}$ および $\frac{\partial L}{\partial r}=mr{\omega }^2$ を代入して、運動方程式は

$$\boxed{m\ddot{r}-mr{\omega }^2=0}$$

[4]
運動方程式 $\ddot{r}-{\omega }^{2}r=0$ の一般解は定数 $A,B$ を用いて

$$r(t)=A{e}^{\omega t}+B{e}^{-\omega t}$$

初期条件 $r(0)=r_0,\dot{r}(0)=v_0$ より

$$A+B=r_0,A\omega -B\omega =v_0$$

これを解いて $A=\frac{1}{2}\left(r_0+\frac{v_0}{\omega }\right),B=\frac{1}{2}\left(r_0-\frac{v_0}{\omega }\right)$ となるため、

$$\boxed{r(t)=\frac{1}{2}\left(r_0+\frac{v_0}{\omega }\right)e^{\omega t}+\frac{1}{2}\left(r_0-\frac{v_0}{\omega }\right)e^{-\omega t}}$$

[5]
1)
[3]で得た運動方程式 $m\ddot{r}=mr{\omega }^2$ について、右辺を変形すると

$$mr{\omega }^2=-\frac{\partial }{\partial r}\left(-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2\right)=-\frac{\partial \tilde{U}(r)}{\partial r}$$

したがって、方程式は $m\ddot{r}=-\frac{\partial \tilde{U}(r)}{\partial r}$ となり、パイプの中の小球の運動が1次元空間中のポテンシャル $\tilde{U}(r)$ の中の運動として表されることが示された。(証明終)

初期状態における力学的エネルギー $E$ は

$$E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}_0^2=0$$

$v_0<0,r_0>0,\omega >0$ であるため、

$$\boxed{v_0=-r_0\omega }$$

4. の条件を [4] の結果に代入すると、$A=0,B=r_0$ となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& r(t)=r_0{e}^{-\omega t}\\ & \text{小球は無限の時間をかけて原点に漸近する運動を行う。}\end{array}}$$

[6]
[4] の結果より、軌道の挙動は $e^{\omega t}$ の係数 $A=\frac{1}{2}(r_0+\frac{v_0}{\omega })$ の符号によって決まる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{(i) }{v}_0>-r_0\omega \text{ のとき：}\\ & A>0\text{ であり、}t\to \infty \text{ で }r(t)\to \infty \text{ となる。小球は正の無限遠へ遠ざかる。}\\ & \text{(ii) }{v}_0=-r_0\omega \text{ のとき：}\\ & A=0\text{ であり、}r(t)=r_0{e}^{-\omega t}\text{ となる。小球は原点に漸近する。}\\ & \text{(iii) }{v}_0<-r_0\omega \text{ のとき：}\\ & A<0\text{ であり、途中で }r(t)=0\text{ となり原点を通過し、その後負の無限遠へ遠ざかる。}\end{array}}$$

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本题考查了分析力学中的拉格朗日方程及利用有效势能分析一维等效运动的过程。求解第一问时利用极坐标或直角坐标向极坐标的转换可得速度平方项进而写出动能。由于系统置于水平面内没有势能，系统的拉格朗日量即为动能。通过欧拉拉格朗日方程可推导出运动方程，其形式属于二阶常系数线性微分方程，可通过特征方程求解出含有指数项的解析解。第五问引入了离心力对应的等效势能，将二维旋转系统简化为直观的一维运动系统，通过能量守恒这一条件可以直接求出小球刚好能到达原点所需的初始负向速度。第六问需要通过讨论解析解中正指数增长项的系数符号，由此可以完整且严谨地描述出在不同初速度条件下小球最终的渐近行为以及经过原点的穿透情况。