[1] 行列
に対して次の小問に答えよ。
-
の固有値と固有ベクトルを求めよ。ただし，固有ベクトルは正規化せよ。
-
を対角行列に変換する式を示せ。ただし，その式に現れる 以外の行列に対しては要素も示せ。
-
を自然数として， を求めよ。
[2] 3次元空間上の3点を , および とする。このとき，次の小問に答えよ。
-
および を頂点とする3角形の面積を数値で求めよ。
-
3点を含む平面 上の点 が満たす条件を媒介変数 と および と を用いて示せ。
-
媒介変数を用いないで， 上の点 が満たす条件を および を用いて示せ。
[3] を実対称行列とする。 が逆行列 をもつならば， は対称行列となることを証明せよ。
解答：
[1]
1)
のとき：
のとき：
直交行列 と対角行列 を次のように定める：
変換する式は であるため：
より：
[2]
1)
面積 は：
法線ベクトルは となるため、内積を用いて：
[3]
は実対称行列であるため、 が成り立つ。
と の積の転置を考えると：
より：
両辺の右から を掛ける：
したがって、 は対称行列となる。(証明終)
这道题目主要考察了线性代数中的矩阵对角化空间解析几何以及对称矩阵的性质在求解矩阵的特征值时需要解特征方程并由特征值求出对应的特征向量进行归一化处理在构造正交矩阵并进行相似对角化时要注意将矩阵对角化公式的各个部分完整写出此外利用对角化求矩阵的幂次方是一个常规的操作技巧在空间解析几何中已知三点坐标求三角形面积通常可以通过计算两个边向量的叉乘模长的一半来得到平面方程则可以通过参数方程的形式利用点与两个方向向量的线性组合表示非参数方程形式则是利用平面内向量与法向量互相垂直即点积为零的条件来描述对于证明对称矩阵逆矩阵也是对称矩阵只需要熟练利用矩阵转置的基本运算规律以及逆矩阵的定义式即可顺利推导得出相应结论。