0281-2014 名情复 机械 P258

流体力学 连续性方程 欧拉方程 涡度方程 流体动力学

[1] 二次元空間($x$-$y$平面)における非圧縮・非粘性流れについて，以下の問いに答えよ。ただし，時間を$t$，圧力を$p$，密度を$\rho$，$x$および$y$方向の速度成分をそれぞれ$u$および$v$，単位質量の流体に作用する外力の$x$および$y$方向の成分をそれぞれ$X$および$Y$とする。

1. 連続の式を記述せよ。
2. Eulerの運動方程式を記述せよ。
3. 渦度を$\omega$とする．連続の式とEulerの運動方程式から，渦度方程式

$$\frac{\partial \omega }{\partial t}+u\frac{\partial \omega }{\partial x}+v\frac{\partial \omega }{\partial y}=0$$

を導け。
4) 渦度方程式が意味する渦度の特性を説明せよ。

[2] 流体の運動に関連した以下の用語について，それぞれ150字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよい。

1. Magnus 効果
2. キャビテーション
3. 流れ関数
4. 境界層

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解答：

[1]
1)

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}& =X-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}& =Y-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\end{array}}$$

外力は保存力（$\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}=0$）と仮定する。また、$\rho$ は一定である。
Eulerの運動方程式の $y$ 成分を $x$ で偏微分し、$x$ 成分を $y$ で偏微分したものの差をとる。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right)& =\frac{\partial }{\partial x}\left(Y-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(X-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\right)\\ & =0\end{array}$$

左辺を展開して整理する。

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+u\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+v\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}=0$$

渦度の定義 $\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$ を代入し、残りの項をまとめる。

$$\frac{\partial \omega }{\partial t}+u\frac{\partial \omega }{\partial x}+v\frac{\partial \omega }{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)-\frac{\partial u}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0$$

連続の式より $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$ であるため、後方の項は消去される。

$$\frac{\partial \omega }{\partial t}+u\frac{\partial \omega }{\partial x}+v\frac{\partial \omega }{\partial y}=0$$

(証明終)

渦度の物質微分 $\frac{D\omega }{Dt}=0$ を示している。
二次元非粘性非圧縮流れにおいて、流体微小要素の渦度は流れに沿って時間的に変化せず、保存されることを意味する。
[2]
1)

回転する物体が一様な流れの中に置かれたとき、流体との相対速度の差によって圧力差が生じ、流れと回転軸の両方に垂直な方向へ揚力が発生する現象。

流体中において、局所的な圧力がその温度での飽和蒸気圧以下に低下した際に、液体が急激に気化して多数の微小な気泡が発生する現象。

二次元非圧縮性流れにおいて連続の式を満たすように定義されるスカラー関数であり、その等値線は流線を表し、偏微分によって速度成分が導出される。

粘性流体が物体表面を流れる際、粘性の影響を強く受け、流速が壁面でのゼロから主流の速度にまで急激に変化する、物体表面近傍に形成される薄い流体層。

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这道题目主要考察了流体力学中的基本控制方程以及几个关键概念的理解。第一部分聚焦于二维不可压缩无粘性流体，要求写出连续性方程和欧拉运动方程。通过对欧拉方程的两个分量交叉求导并作差，可以巧妙地消去压力梯度项和保守外力项，接着代入涡度的定义，并利用连续性方程将部分偏导数项消零，就能顺利推导出涡度方程。这个方程表明涡度的物质导数为零，即在没有粘性耗散且密度不变的二维流场中，流体微团沿着迹线运动时其涡度大小保持守恒。第二部分的名词解释涵盖了流体动力学中的几个经典现象与理论工具。马格努斯效应解释了旋转球体为何会产生弧线运动；空化现象则指出了水翼或螺旋桨在高速运动时因局部低压而导致气泡生成的机制；流函数作为纯数学构造，极大地简化了二维不可压缩流的求解过程；边界层理论则是普朗特提出的，它成功地将粘性仅在壁面附近起重要作用的区域与外部可视为无粘的主流区域分离开来。