0280-2014 名情复 机械 P256

材料力学 等强度梁 应力集中

[1] 図1(a)と(b)は，それぞれはり1の上面図と側面図である。はり1の長さは $\ell$ であり，その上面図は二等辺三角形である。
図2は，はり2の上面図であり，その長さも $\ell$ である。はり1と2の端点Bに $+y$ 方向に荷重 $P$ を加える。
あるはりにおいて，荷重点を除く任意の $x$ 座標に発生する最大応力が $x$ によらず一定値をとるとき，このはりを「平等強さのはり」とよぶ。

1. はり1の横断面は矩形であり，厚さと固定端の幅をそれぞれ $h$ と $b_0$ とする。このはりが平等強さのはりであることを説明せよ。
2. はり2を平等強さの片持ちはりとするために，はりの厚さ $h$ を $x$ の関数とする必要がある。$h$ を $x$ の関数で示せ。なお，固定端におけるはりの厚さを $h_0$ とせよ。
   

[2] 図3に示す円孔をもつ帯板において，両端に一様に応力 ${\sigma }_0$ を分布させた。円孔の半径を $a$ とし，$a$ は帯板の幅 $h$ に比して小さいとする。円孔の中心Oを原点とする極座標 $r$-$\theta$ において板内の任意の点の応力は，以下のように得られているとする。

$${\sigma }_r=\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1-\frac{a^2}{r^2}\right)+\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1+\frac{3a^4}{r^4}-\frac{4a^2}{r^2}\right)\cos 2\theta ,$$ $${\sigma }_{\theta }=\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1+\frac{a^2}{r^2}\right)-\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1+\frac{3a^4}{r^4}\right)\cos 2\theta ,$$ $${\tau }_{r\theta }=-\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1-\frac{3a^4}{r^4}+\frac{2a^2}{r^2}\right)\sin 2\theta .$$

上の関係式を用いて以下の問に答えよ。

1. 図3の断面ABにおける ${\sigma }_{\theta }$ を $r$ の関数で表せ。
2. 断面AB中に分布する ${\sigma }_{\theta }$ の最大値を求めよ。
3. 点Cにおける主応力と主方向を求めよ。
   

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解答：

[1]
1)
座標 $x$ における曲げモーメント $M(x)$ は，

$$M(x)=P(\ell -x)$$

である。
はり1の上面図は二等辺三角形であるため，座標 $x$ における幅 $b(x)$ は，

$$b(x)=b_0\frac{\ell -x}{\ell }$$

となる。
断面係数 $Z(x)$ は，厚さが $h$ で一定であるから，

$$Z(x)=\frac{1}{6}b(x)h^2=\frac{1}{6}{b}_0\frac{\ell -x}{\ell }{h}^2$$

座標 $x$ における最大曲げ応力 ${\sigma }_{\max }(x)$ は，

$${\sigma }_{\max }(x)=\frac{M(x)}{Z(x)}=\frac{P(\ell -x)}{\frac{1}{6}{b}_0\frac{\ell -x}{\ell }{h}^2}=\frac{6P\ell }{b_0{h}^2}$$

${\sigma }_{\max }(x)$ は $x$ に依存せず一定値をとるため，はり1は平等強さのはりである。(証明終)

はり2は幅が $b_0$ で一定である。厚さを $h(x)$ とすると，断面係数 $Z(x)$ は，

$$Z(x)=\frac{1}{6}{b}_{0}h(x{)}^2$$

最大曲げ応力 ${\sigma }_{\max }(x)$ は，

$${\sigma }_{\max }(x)=\frac{M(x)}{Z(x)}=\frac{P(\ell -x)}{\frac{1}{6}{b}_{0}h(x{)}^2}=\frac{6P(\ell -x)}{b_{0}h(x{)}^2}$$

平等強さのはりであるための条件は，${\sigma }_{\max }(x)=\text{const.}$ である。
固定端 $x=0$ における最大応力は，

$${\sigma }_{\max }(0)=\frac{6P\ell }{b_0{h}_0^2}$$

したがって，

$$\frac{6P(\ell -x)}{b_{0}h(x{)}^2}=\frac{6P\ell }{b_0{h}_0^2}$$ $$h(x{)}^2=h_0^2\frac{\ell -x}{\ell }$$ $$\boxed{h(x)=h_0\sqrt{1-\frac{x}{\ell }}}$$

[2]
1)
断面ABは $y$ 軸上にあり，$\theta =\pm \pi /2$ に対応する。
与式に $\theta =\pi /2$ (または $-\pi /2$) を代入すると，$\cos 2\theta =\cos \pi =-1$ となる。

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\theta }& =\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1+\frac{a^2}{r^2}\right)-\frac{{\sigma }_0}{2}\left(1+\frac{3a^4}{r^4}\right)(-1)\\ & =\frac{{\sigma }_0}{2}\left(2+\frac{a^2}{r^2}+\frac{3a^4}{r^4}\right)\end{array}$$ $$\boxed{{\sigma }_{\theta }=\frac{{\sigma }_0}{2}\left(2+\frac{a^2}{r^2}+\frac{3a^4}{r^4}\right)}$$

断面ABにおいて，$r\ge a$ である。
${\sigma }_{\theta }$ の式より，$\frac{a^2}{r^2}$ および $\frac{a^4}{r^4}$ は $r$ が最小のときに最大となる。
したがって，$r=a$ (孔の縁) において ${\sigma }_{\theta }$ は最大値をとる。

$${\sigma }_{\theta ,\max }={\sigma }_{\theta }(a)=\frac{{\sigma }_0}{2}\left(2+1+3\right)=3{\sigma }_0$$ $$\boxed{{\sigma }_{\theta ,\max }=3{\sigma }_0}$$

点Cは $x$ 軸上にあり，円孔の縁であるから $r=a,\theta =0$ である。
$\cos 2\theta =1,\sin 2\theta =0$ を応力の式に代入する。

$${\sigma }_r=\frac{{\sigma }_0}{2}(1-1)+\frac{{\sigma }_0}{2}(1+3-4)=0$$ $${\sigma }_{\theta }=\frac{{\sigma }_0}{2}(1+1)-\frac{{\sigma }_0}{2}(1+3)={\sigma }_0-2{\sigma }_0=-{\sigma }_0$$ $${\tau }_{r\theta }=0$$

せん断応力 ${\tau }_{r\theta }$ がゼロであるため，${\sigma }_r$ と ${\sigma }_{\theta }$ が主応力となる。
主応力：

$$\boxed{{\sigma }_1=0,{\sigma }_2=-{\sigma }_0}$$

主方向：
${\sigma }_1=0$ に対応する方向は $r$ 方向（$x$ 軸方向，$\theta =0$）。
${\sigma }_2=-{\sigma }_0$ に対応する方向は $\theta$ 方向（$y$ 軸方向，$\theta =\pi /2$）。

$$\boxed{\text{主応力 }0\text{ の方向：}x\text{軸方向，主応力 }-{\sigma }_0\text{ の方向：}y\text{軸方向}}$$

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第一大题考察了等强度梁的概念及其截面尺寸设计。对于自由端受集中力的悬臂梁，其弯矩分布是沿梁长线性变化的。为了使梁上各截面的最大正应力相等，即实现等强度，截面的抗弯截面系数必须与弯矩成正比。在第一小问中，梁的宽度呈线性变化，厚度不变，这恰好使得抗弯截面系数与弯矩的线性变化相匹配，从而证明了其为等强度梁。第二小问则是在宽度不变的情况下，要求推导厚度沿梁长的变化规律，通过将任意截面的最大应力与固定端处的最大应力相等，即可解出厚度随坐标 $x$ 的函数关系，其呈抛物线型变化。

第二大题涉及弹性力学中经典的带圆孔无限大板的应力集中问题（基尔斯问题）。题目给出了极坐标系下的应力分量表达式。第一小问要求计算过孔心垂直于拉伸方向的截面（即 $\theta =\pm \pi /2$ 处）的环向应力，代入角度即可得到关于径向坐标 $r$ 的函数。第二小问需要找出该截面上的最大环向应力，观察表达式可知，应力随着 $r$ 的增大而减小，因此在孔口边缘（$r=a$）处应力最大，计算结果为 $3{\sigma }_0$，这也是著名的应力集中系数为3的结论。第三小问求解孔口在拉伸轴线上的点（即 $r=a,\theta =0$ 处）的应力状态，代入坐标发现切应力为零，说明径向和环向即为主方向，算得径向应力为零（自由表面条件），环向应力为 $-{\sigma }_0$（即孔口在此处受压）。```