0278-2014 名情复 机械 P232

力学 振动学 拉格朗日力学 简谐振动

図1のように，太さの一様なU字管内に入った液体の運動を考える。つりあって静止した状態の液面の高さを原点とし，ある時刻$t$における片方の液面の高さを$z(t)$とする。つりあっていない状態では，重力により液面は上下運動をくり返す。液体の全質量を$M$，管に沿った単位長さあたりの質量を$\mu$，重力加速度を$g$とする。運動している間は，両方の液面は水平に保たれ，液体の密度の変化はない。また，液面の運動は十分に小さく，U字管の上端から液体があふれることはない。逆に，液面が最も下がってもU字管の曲がった部分に達することはない。さらに，液体とU字管の内壁との摩擦はないとする。

[1] 液体の運動エネルギー$K$を$\dot{z}(=\mathrm{d}z/\mathrm{d}t)$などを使って書け。

[2] $z=0$のときのポテンシャルエネルギーをゼロとする。図1の状態の液体のポテンシャルエネルギー$U(z)$は，管の左側の0から$-z$の区間の液体(質量$\mu z$)を，右側の0から$z$の区間まで運んだときの仕事量に等しい。$U(z)$を求めよ。

[3] 片方の液面の高さが$x(>0)$，もう一方が$-x$のとき，$-x$から$x$までの部分の液体にはたらく重力の大きさを書け。それを使って両液面が原点で静止している状態から片方の高さが$z$で静止した状態にするために必要な仕事を計算せよ。

[4] 液体の運動に関するラグランジアン$L$を求めよ。

[5] 液体の運動のラグランジュ方程式を求めよ。

[6] ラグランジュ方程式を解いて，$z$を時間$t$の関数として表せ。ただし，初期状態を$z(t=0)=z_0,\dot{z}(t=0)=0$とする。

[7] 液体の運動は図2のバネ定数$k$のバネの先に質量$M$のおもりがついた場合の単振動と等価である。液体の振動におけるバネ定数$k$に相当する量を求めよ。さらに，液体の振動の周期$T$を$\mu$などを使って書け。

---

解答：

[1]

$$K=\frac{1}{2}M{\dot{z}}^2$$ $$\boxed{K=\frac{1}{2}M{\dot{z}}^2}$$

[2]
運ばれる液体の重心は $-\frac{z}{2}$ から $\frac{z}{2}$ へ移動するため、高さの変化は $z$ である。

$$U(z)=(\mu z)g\left(\frac{z}{2}-\left(-\frac{z}{2}\right)\right)=\mu g{z}^2$$ $$\boxed{U(z)=\mu g{z}^2}$$

[3]
$-x$ から $x$ までの液柱の長さは $2x$、質量は $2\mu x$ であるから、はたらく重力の大きさ $F(x)$ は

$$F(x)=2\mu gx$$

必要な仕事 $W$ は、この力に逆らって液体を移動させる仕事に等しい。

$$W={\int }_0^{z}F(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{z}2\mu gx\mathrm{d}x=\mu g{z}^2$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}F(x)& =2\mu gx\\ W& =\mu g{z}^2\end{array}}$$

[4]
ラグランジアン $L=K-U$ より、

$$L=\frac{1}{2}M{\dot{z}}^2-\mu g{z}^2$$ $$\boxed{L=\frac{1}{2}M{\dot{z}}^2-\mu g{z}^2}$$

[5]
ラグランジュ方程式

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}\right)-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$

に $L$ を代入する。

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=M\dot{z},\frac{\partial L}{\partial z}=-2\mu gz$$ $$M\ddot{z}+2\mu gz=0$$ $$\boxed{M\ddot{z}+2\mu gz=0}$$

[6]
運動方程式を変形すると

$$\ddot{z}=-\frac{2\mu g}{M}z$$

これは角振動数 $\omega =\sqrt{\frac{2\mu g}{M}}$ の単振動である。一般解は

$$z(t)=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$$

初期条件 $z(0)=z_0,\dot{z}(0)=0$ より $A=z_0,B=0$ となる。

$$z(t)=z_0\cos \left(\sqrt{\frac{2\mu g}{M}}t\right)$$ $$\boxed{z(t)=z_0\cos \left(\sqrt{\frac{2\mu g}{M}}t\right)}$$

[7]
バネ振り子の運動方程式 $M\ddot{z}+kz=0$ と液体の運動方程式 $M\ddot{z}+2\mu gz=0$ を比較する。

$$k=2\mu g$$

周期 $T$ は

$$T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{M}{2\mu g}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}k& =2\mu g\\ T& =2\pi \sqrt{\frac{M}{2\mu g}}\end{array}}$$

---

这道题探讨了U型管中液体受重力作用产生的简谐振动，并引导使用拉格朗日力学的方法来求解运动方程。整个系统的动能很容易表达，因为由于液体不可压缩且管子粗细均匀，所有液体的运动速率都是相同的。计算势能时有一个非常巧妙的等效思路，不需要去计算整个U型管中所有液体的绝对重力势能，而是将系统状态偏离平衡位置的过程看作是把左侧液面以下深度为z的一段液柱“搬运”到了右侧液面以上高度为z的地方。这段液柱的质量是单位长度质量乘以长度z，而在搬运过程中，这段液柱的质心从原点下方二分之z处移动到了原点上方二分之z处，整体垂直提升了z的高度。利用质量、重力加速度和高度差的乘积，就可以快速得到系统增加的势能。

题目后续通过计算外力做功再次验证了这个势能的表达式。将动能和势能相减得到拉格朗日量后，代入欧拉-拉格朗日方程求导，可以直接给出关于位移z的二阶常微分方程。这个方程在形式上和经典的弹簧振子完全一致，恢复力与位移成正比，等效的弹簧劲度系数为两倍的液柱单位长度重力。通过类比弹簧振子的角频率和周期公式，就能轻松写出液体振动的周期。这种分析力学结合等效模型的处理方法在解决复杂振动系统时十分清晰高效。