0276-2014 名情复 数学 P230

线性代数 埃尔米特矩阵 特征值 实对称矩阵

[1] 2次のエルミート行列

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& -i\\ i& 2\end{array}\right)$$

の固有値を求めよ。ただし，$i$を虚数単位とする。

[2] エルミート行列の固有値は実数であることを示せ。

[3] $\mathbf{A}$ は $n$ 次のエルミート行列で，$\mathbf{A}=\mathbf{B}+i\mathbf{C}$ とかくことができるとする。ただし，$\mathbf{B}$ と $\mathbf{C}$ は $n$ 次の実数行列である。このとき，

$$\mathbf{D}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right)$$

とおく。次の小問に答えよ。

1. $\mathbf{D}$ は $2n$ 次の実対称行列であることを示せ。
2. $\mathbf{A}$ と $\mathbf{D}$ の固有値は同じであることを示せ。

---

解答：

[1]
固有方程式：$|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}|=0$

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& i\\ -i& \lambda -2\end{array}\right|& =(\lambda -1)(\lambda -2)-(-i)(i)\\ & ={\lambda }^2-3\lambda +2-1\\ & ={\lambda }^2-3\lambda +1=0\end{array}$$ $$\lambda =\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$ $$\boxed{\lambda =\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$$

[2]
エルミート行列 $\mathbf{A}$ の固有値を $\lambda$、対応する固有ベクトルを $\mathbf{x}\ne 0$ とする。

$$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$$

左から ${\mathbf{x}}^{\ast }$ を掛ける：

$${\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{Ax}=\lambda {\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}$$

両辺の共役転置をとる：

$$({\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{Ax}{)}^{\ast }=(\lambda {\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}{)}^{\ast }$$ $${\mathbf{x}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{x}=\bar{\lambda }{\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}$$

${\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{A}$ より：

$${\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{Ax}=\bar{\lambda }{\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}$$

したがって：

$$\lambda {\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}=\bar{\lambda }{\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}$$

$\mathbf{x}\ne 0$ より ${\mathbf{x}}^{\ast }\mathbf{x}>0$ であるため：

$$\lambda =\bar{\lambda }$$

ゆえに、$\lambda$ は実数である。(証明終)

[3]
1)
${\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{A}$ より：

$$(\mathbf{B}+i\mathbf{C}{)}^{\ast }=\mathbf{B}+i\mathbf{C}$$ $${\mathbf{B}}^T-i{\mathbf{C}}^T=\mathbf{B}+i\mathbf{C}$$

$\mathbf{B},\mathbf{C}$ は実数行列であるため、実部と虚部を比較して：

$${\mathbf{B}}^T=\mathbf{B},{\mathbf{C}}^T=-\mathbf{C}$$

$\mathbf{D}$ の転置をとる：

$${\mathbf{D}}^T={\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}^T& {\mathbf{C}}^T\\ -{\mathbf{C}}^T& {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)$$

代入して：

$${\mathbf{D}}^T=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right)=\mathbf{D}$$

$\mathbf{B},\mathbf{C}$ は実数行列より $\mathbf{D}$ は実数行列であり、${\mathbf{D}}^T=\mathbf{D}$ であるため、$\mathbf{D}$ は実対称行列である。(証明終)

$\mathbf{A}$ の固有値を $\lambda$、固有ベクトルを $\mathbf{x}=\mathbf{u}+i\mathbf{v}\ne 0$（$\mathbf{u},\mathbf{v}$ は実ベクトル）とする。

$$(\mathbf{B}+i\mathbf{C})(\mathbf{u}+i\mathbf{v})=\lambda (\mathbf{u}+i\mathbf{v})$$

$\lambda$ は実数であるから、展開して整理すると：

$$(\mathbf{Bu}-\mathbf{Cv})+i(\mathbf{Cu}+\mathbf{Bv})=\lambda \mathbf{u}+i\lambda \mathbf{v}$$

実部と虚部を比較して：

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{Bu}-\mathbf{Cv}=\lambda \mathbf{u}\\ \mathbf{Cu}+\mathbf{Bv}=\lambda \mathbf{v}\end{array}$$

行列形式で表すと：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)$$ $$\mathbf{D}\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)$$

$\mathbf{x}\ne 0$ より $\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)\ne 0$ であり、$\lambda$ は $\mathbf{D}$ の固有値となる。

逆に、$\mathbf{D}$ の固有値を $\mu$、実固有ベクトルを $\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)\ne 0$ とする。

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)=\mu \left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)$$ $$\{\begin{array}{l}\mathbf{Bu}-\mathbf{Cv}=\mu \mathbf{u}\\ \mathbf{Cu}+\mathbf{Bv}=\mu \mathbf{v}\end{array}$$

ベクトル $\mathbf{y}=\mathbf{u}+i\mathbf{v}$ を構成する。$\left(\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{array}\right)\ne 0$ より $\mathbf{y}\ne 0$ である。

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Ay}& =(\mathbf{B}+i\mathbf{C})(\mathbf{u}+i\mathbf{v})\\ & =(\mathbf{Bu}-\mathbf{Cv})+i(\mathbf{Cu}+\mathbf{Bv})\\ & =\mu \mathbf{u}+i\mu \mathbf{v}\\ & =\mu (\mathbf{u}+i\mathbf{v})=\mu \mathbf{y}\end{array}$$

これにより、$\mu$ は $\mathbf{A}$ の固有値となる。
以上より、$\mathbf{A}$ と $\mathbf{D}$ の固有値は同じである。(証明終)

---

题目的核心在于埃尔米特矩阵的性质及其与实对称矩阵之间的联系。在第一题中通过求解特征方程可以计算出具体的特征值，注意复数运算的准确性即可。第二题是一个经典的定理证明，利用特征值定义式的两边同时左乘特征向量的共轭转置，再对整个等式取共轭转置，利用埃尔米特矩阵共轭转置等于自身的性质，结合特征向量内积为严格正实数，即可得出特征值等于其共轭，从而证明其必为实数。第三题中将复数矩阵拆分为实部和虚部矩阵，利用埃尔米特矩阵的性质可以推导出其实部矩阵是对称矩阵，而虚部矩阵是反对称矩阵，进而构造出分块矩阵之后，通过矩阵转置的运算规则即可证明其为实对称矩阵。最后通过将复数特征向量也拆分为实部和虚部向量，展开复数矩阵的特征值方程，对比两边的实部和虚部，可以自然地构造出分块矩阵的特征值方程，反之亦然，这建立起了复数域上的埃尔米特矩阵与实数域上两倍维度的实对称矩阵在特征值问题上的等价关系。