0275-2013 名情复 机械 P226

控制学 系统响应 稳定性分析 稳态误差 灵敏度函数

[1] 図1に示す開ループ制御系が外乱$d(s)=1$を受ける。$x(s)=0$のとき，出力の時間変化$y(t)$を求めよ。

[2] 図2に示す外乱$d(s)$のある閉ループ制御系について以下の問に答えよ。
(1) この閉ループ制御系が安定となる$K$の値の範囲を求めよ。
(2) 上の(1)の条件を満たし，なおかつ定常速度偏差${\epsilon }_v$（ランプ入力に対する定常偏差）が1以下となるような$K$の値の範囲を求めよ。ただし$d(s)=0$とせよ。

[3] 図1の開ループ制御系と図2の閉ループ制御系の伝達関数が等しくなるように$K$の値を調整した。以下の問いに答えよ。
(1) このときの$K$の値を求めよ。
(2) 図2の制御系の感度関数$S(s)$を求めよ。

（参考）ラプラス変換表

時間関数	ラプラス変換された関数	時間関数	ラプラス変換された関数
デルタ関数 $\delta (t)$	$1$	$t{e}^{-at}$	$1/(s+a{)}^2$
ステップ関数 $u(t)$	$1/s$	$\sin \omega t$	$\omega /(s^2+{\omega }^2)$
$t$	$1/s^2$	$\cos \omega t$	$s/(s^2+{\omega }^2)$
$(1/2)t^2$	$1/s^3$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\omega /\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$e^{-at}$	$1/(s+a)$	$e^{-at}\cos \omega t$	$(s+a)/\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$df/dt$	$sF(s)-f(0)$	$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s}$
$d^{2}f/d{t}^2$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

注）$f$ に付した「‘」と「(-1)」は，それぞれ一階微分と積分を表す。

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解答：

[1]

$$y(s)=d(s)\frac{1}{s(s+1)(s+3)}=\frac{1}{s(s+1)(s+3)}$$
$$\frac{1}{s(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+3}$$
$$A={\frac{1}{(s+1)(s+3)}|}_{s=0}=\frac{1}{3}$$
$$B={\frac{1}{s(s+3)}|}_{s=-1}=-\frac{1}{2}$$
$$C={\frac{1}{s(s+1)}|}_{s=-3}=\frac{1}{6}$$
$$y(s)=\frac{1/3}{s}-\frac{1/2}{s+1}+\frac{1/6}{s+3}$$
$$\boxed{y(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{e}^{-t}+\frac{1}{6}{e}^{-3t}(t\ge 0)}$$

[2]
(1)

$$1+L(s)=1+\frac{K}{s(s+1)(s+3)}=0$$
$$s^3+4s^2+3s+K=0$$
$$\begin{array}{ccc}{s}^3& 1& 3\\ s^2& 4& K\\ s^1& \frac{12-K}{4}& 0\\ s^0& K& 0\end{array}$$
$$4>0,\frac{12-K}{4}>0,K>0$$
$$\boxed{0<K<12}$$

(2)

$$K_v=\underset{s\to 0}{\lim }sL(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{K}{(s+1)(s+3)}=\frac{K}{3}$$
$${\epsilon }_v=\frac{1}{K_v}=\frac{3}{K}\le 1⟹K\ge 3$$
$$\boxed{3\le K<12}$$

[3]
(1)

$$G_1(s)=\frac{Ks(s+1)(s+3)}{s^3+4s^2+3s+4}\cdot \frac{1}{s(s+1)(s+3)}=\frac{K}{s^3+4s^2+3s+4}$$
$$G_2(s)=\frac{\frac{K}{s(s+1)(s+3)}}{1+\frac{K}{s(s+1)(s+3)}}=\frac{K}{s^3+4s^2+3s+K}$$
$$G_1(s)=G_2(s)⟹s^3+4s^2+3s+4=s^3+4s^2+3s+K$$
$$\boxed{K=4}$$

(2)

$$S(s)=\frac{1}{1+L(s)}=\frac{1}{1+\frac{K}{s(s+1)(s+3)}}$$
$$S(s)=\frac{s(s+1)(s+3)}{s(s+1)(s+3)+K}=\frac{s^3+4s^2+3s}{s^3+4s^2+3s+4}$$
$$\boxed{S(s)=\frac{s^3+4s^2+3s}{s^3+4s^2+3s+4}}$$

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本题主要考察了经典控制理论中的几个核心概念。第一题涉及开环系统的瞬态响应分析，通过对给定的传递函数进行部分分式展开，结合拉普拉斯逆变换可以直接求得系统在阶跃外扰下的时域响应。第二题考察了闭环系统的稳定性和稳态误差分析，利用劳斯稳定判据可以求出使得特征方程的根均位于左半平面的增益范围，利用静态速度误差常数可以确定满足给定稳态误差要求时增益的下限。第三题涉及传递函数的等效与灵敏度函数的求解，通过对比前馈控制和反馈控制系统的闭环传递函数确定参数，然后直接代入灵敏度函数的定义式即可得出结果。