0274-2013 名情复 机械 P225

流体力学 连续性方程 流函数 流体力学基本概念

[1] 二次元空間（$x-y$平面）における非圧縮性流れについて，以下の問いに答えなさい。ただし，$x$および$y$方向の速度成分をそれぞれ$u$および$v$とする。
(1) 微小検査面を設定して，連続の方程式を導出しなさい。
(2) 連続の方程式によれば，流れ関数 $\psi$ を導入できることを示しなさい。
(3) 流れ関数 $\psi$ の物理的な意味を説明しなさい。

[2] 流体の運動に関連した以下の用語について，それぞれ150字以内で説明しなさい。ただし，数式や図を併用してもよい。
(1) Reynolds 数
(2) 渦度
(3) 循環
(4) ポテンシャル流れ
(5) ピトー管

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解答：

[1]
(1)
大きさ $dx\times dy$ の微小検査面を考える。密度を $\rho$ とおく。
単位時間あたりの $x$ 方向の質量流入量および流出量は：

$$\text{流入}:\rho udy,\text{流出}:\rho \left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)dy$$
$y$ 方向の質量流入量および流出量は：
$$\text{流入}:\rho vdx,\text{流出}:\rho \left(v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)dx$$
定常状態での質量保存則により、総流入量と総流出量は等しい。
$$\rho udy+\rho vdx-\left\{\rho \left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)dy+\rho \left(v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)dx\right\}=0$$
$$-\rho \frac{\partial u}{\partial x}dxdy-\rho \frac{\partial v}{\partial y}dxdy=0$$
非圧縮性流体のため $\rho =\text{const.}$ であり、両辺を $-\rho dxdy$ で割ると、
$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

(2)
連続の方程式を満たすように、関数 $\psi (x,y)$ を次のように定義する。

$$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$$
これらを連続の方程式の左辺に代入すると、
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y\partial x}$$
$\psi$ が連続な2次偏導関数を持つとすれば、偏微分の順序は交換可能であるため、上式は常に $0$ となる。
したがって、連続の方程式を恒等的に満たす流れ関数 $\psi$ が導入できる。(証明終)

(3)
流れ関数 $\psi$ の全微分は $d\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=-vdx+udy$ である。
流線上では速度ベクトルと微小変位が平行であるため $udy-vdx=0$、すなわち $d\psi =0$ となる。
また、2つの流線 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 間の体積流量 $Q$ は $Q={\int }_{{\psi }_1}^{{\psi }_2}d\psi ={\psi }_2-{\psi }_1$ となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{等値線 }\psi =\text{const.}\text{ は流線を表し、}\\ & \text{2つの流線間の }\psi \text{ の値の差は、その間を流れる単位奥行きあたりの体積流量を表す。}\end{array}}$$

[2]
(1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& Re=\frac{\rho UL}{\mu }=\frac{UL}{\nu }\\ & \text{流体に働く慣性力と粘性力の比を表す無次元数。}\\ & \text{層流と乱流の遷移を判定する指標となる。}\end{array}}$$

(2)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{v}\\ & \text{流体粒子の局所的な回転の強さ（角速度の2倍）を表すベクトル量。}\\ & \text{2次元では }\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\text{ となる。}\end{array}}$$

(3)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \Gamma ={\oint }_C\mathbf{v}\cdot d\mathbf{s}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{v})\cdot \mathbf{n}dS\\ & \text{閉曲線に沿う速度の線積分。}\\ & \text{巨視的な渦の強さであり、領域内の渦度面積分（Stokesの定理）に等しい。}\end{array}}$$

(4)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \nabla \times \mathbf{v}=0⟹\mathbf{v}=\nabla \varphi \\ & \text{流体領域の至る所で渦度がゼロ（非回転）である流れ。}\\ & \text{速度が速度ポテンシャル }\varphi \text{ の勾配で表される。}\end{array}}$$

(5)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& v=\sqrt{\frac{2(p_0-p)}{\rho }}\\ & \text{ベルヌーイの定理に基づき、}\\ & \text{よどみ点圧 }{p}_0\text{ と静圧 }p\text{ の差である動圧を測定することで、}\\ & \text{局所流速を求める装置。}\end{array}}$$

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这道题目主要考察了流体力学中二维不可压缩流体的基础理论以及常见核心概念的物理含义。第一部分要求从质量守恒原理出发，通过设定微小控制体推导连续性方程。基于连续性方程的形式，可以引入流函数，使得方程被自然满足，其偏导数即代表速度分量。流函数的等值线直观地描绘了流线，且流函数之差直接对应于两流线间的体积流量。第二部分是对流体力学基本术语的简答，雷诺数反映了流动状态的判据，涡度与循环分别从微观与宏观角度描述了流体的旋转特性，势流则是忽略旋转的简化流动模型，而皮托管利用伯努利原理将压力差转化为流速，是实验流体力学中非常基础的测量工具。使用数学公式辅助说明能够使定义更加严谨和精炼。