0273-2013 名情复 机械 P224

材料力学 応力状態 梁の曲げ

[1] 図1のように微小要素に，平面応力条件を満たし，垂直応力 ${\sigma }_x=2[{\text{N/mm}}^2]$, ${\sigma }_y=0[{\text{N/mm}}^2]$ と，せん断応力 ${\tau }_{xy}=1[{\text{N/mm}}^2]$ が作用している。以下の問に答えよ。
(1) 主応力と主方向を求めよ。
(2) 降伏応力を ${\sigma }_s=2[{\text{N/mm}}^2]$ とする。ミーゼスの基準（せん断ひずみエネルギ説）が適用できるとして，微小要素が降伏するか判定せよ。

[2] 図2のように片方のスパンに等分布荷重 $w$ (次元：$[\text{力/長さ}]$) を受ける長さ $2\ell$ のはりがある。以下の問に答えよ。
(1) 真中の支点2がない場合に発生する曲げモーメントの最大値を求めよ。
(2) 図2のはりを支える三つの支点1，2，3に作用する反力 $R_1$, $R_2$ および $R_3$ を求めよ。
(3) 図2のはりの曲げモーメントの最大値を求めよ。

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解答：

[1]
(1)

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$
$${\sigma }_{1,2}=\frac{2+0}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{2-0}{2}\right)}^2+1^2}=1\pm \sqrt{2}$$
$$\tan 2\theta =\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}=\frac{2\cdot 1}{2-0}=1$$
$$2\theta =\frac{\pi }{4}+n\pi (n\in \mathbb{Z})⟹\theta =\frac{\pi }{8}+\frac{n\pi }{2}$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}& {\sigma }_1=1+\sqrt{2}[{\text{N/mm}}^2],{\sigma }_2=1-\sqrt{2}[{\text{N/mm}}^2]\\ & \theta =\frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8}\end{array}}$$

(2)

$${\sigma }_M=\sqrt{{\sigma }_x^2-{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2+3{\tau }_{xy}^2}$$
$${\sigma }_M=\sqrt{2^2-0+0^2+3\cdot 1^2}=\sqrt{7}[{\text{N/mm}}^2]$$
$${\sigma }_M=\sqrt{7}>{\sigma }_s=2$$
$$\boxed{\text{降伏する}}$$

[2]
(1)

$$R_1+R_3=w\ell$$
$$2\ell R_3-w\ell \cdot 1.5\ell =0⟹R_3=\frac{3}{4}w\ell ,R_1=\frac{1}{4}w\ell$$
$$V(x)=R_1-w(x-\ell )=0⟹x=\frac{5}{4}\ell$$
$$M_{max}=R_1\left(\frac{5}{4}\ell \right)-\frac{1}{2}w{\left(\frac{1}{4}\ell \right)}^2=\frac{5}{16}w{\ell }^2-\frac{1}{32}w{\ell }^2$$
$$\boxed{M_{max}=\frac{9}{32}w{\ell }^2}$$

(2)

$$v_{2,\text{load}}=\frac{5w{\ell }^4}{48EI}$$
$$v_{2,R_2}=\frac{R_2(2\ell {)}^3}{48EI}=\frac{R_2{\ell }^3}{6EI}$$
$$v_{2,\text{load}}=v_{2,R_2}⟹\frac{5w{\ell }^4}{48EI}=\frac{R_2{\ell }^3}{6EI}⟹R_2=\frac{5}{8}w\ell$$
$$R_1+R_2+R_3=w\ell$$
$$R_2\ell +R_3(2\ell )-w\ell (1.5\ell )=0$$
$$\frac{5}{8}w{\ell }^2+2\ell R_3=1.5w{\ell }^2⟹R_3=\frac{7}{16}w\ell$$
$$R_1=w\ell -\frac{5}{8}w\ell -\frac{7}{16}w\ell =-\frac{1}{16}w\ell$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}{R}_1& =-\frac{1}{16}w\ell \\ R_2& =\frac{5}{8}w\ell \\ R_3& =\frac{7}{16}w\ell \end{array}}$$

(3)

$$x_3\text{ を支点3から左へ測った距離とする。}$$
$$V(x_3)=R_3-w{x}_3=0⟹x_3=\frac{7}{16}\ell$$
$$M_{max,\text{span}}=\frac{1}{2}w{x}_3^2=\frac{1}{2}w{\left(\frac{7}{16}\ell \right)}^2=\frac{49}{512}w{\ell }^2$$
$$M_{\text{support }2}=R_1\ell =-\frac{1}{16}w{\ell }^2=-\frac{32}{512}w{\ell }^2$$
$$\left|M_{max,\text{span}}\right|>\left|M_{\text{support }2}\right|$$
$$\boxed{M_{max}=\frac{49}{512}w{\ell }^2}$$

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本题综合考察了材料力学中的平面应力状态分析以及超静定梁的求解。第一部分利用应力状态转换方程求解主应力与主方向，并引入冯·米塞斯屈服准则判定材料是否进入塑性状态。第二部分先要求对静定简支梁进行反力和最大弯矩的求解，随后利用叠加法或卡氏定理等变形协调条件求解多出一个中间支座的一阶超静定梁。在确定所有支座反力后，通过寻找剪力为零的位置来比较跨中极值弯矩和支座弯矩，从而确定全梁范围内的最大弯矩。