0271-2013 名情复 机械 P200

力学 中心力场 角动量守恒 有效势能

中心力ポテンシャル $U(r)$ のもとで運動する 3次元空間の粒子（質点）を考える。粒子の質量を $m$ とし，位置ベクトルを $\mathbf{r}$，その大きさを $r=|\mathbf{r}|$，運動量ベクトルを $\mathbf{p}$ とする。

[1] このポテンシャルによって粒子が受ける力 $\mathbf{F}=-\nabla U=-\text{grad}U$ が，$\mathbf{F}=-\frac{dU(r)}{dr}\frac{\mathbf{r}}{r}$ と書けることを示せ。

[2] この粒子の運動について，角運動量ベクトル $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$ の時間微分を計算し，$\mathbf{L}$ が保存していることを示せ。このことより，粒子の運動が定ベクトル $\mathbf{L}$ に直交する平面内に限られることを示せ。

[3] この平面内に設定された座標 $(x,y)$ で運動を考え，粒子の位置をベクトル $\mathbf{r}=(x,y)$ （デカルト座標表示），または $(r,\theta )$（極座標表示）と書く。その間の変換は $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ で与えられる。運動エネルギー及び，角運動量の大きさ $|\mathbf{L}|=L$ を，極座標表示で求めよ。

[4] この系の全エネルギー $E$ を平面内の座標を使って書き下せ。また，全エネルギーが保存することを，$E$ の時間微分を計算することにより示せ。

[5] 全エネルギー $E$ を，保存している角運動量の大きさ $L$ を使って，動径方向の成分 $r,\dot{r}(=dr/dt)$ だけで書き下し，$\dot{r}$ で書ける運動エネルギーとそれ以外の $r$ だけに依存するポテンシャル $U_{\text{eff}}(r)$ とに分けて書け。

[6] $U(r)=-k/r,(k>0)$ として，ポテンシャル $U_{\text{eff}}(r)$ の概略を図示し，力がつり合う平衡点からわずかにずれた場合は，どのような運動をするか解析せよ。（ヒント：平衡点 $r(t)=r_0$ から，わずかにずれた軌道 $r(t)=r_0+r^{\prime }(t)$ を考える。これをポテンシャルに代入し，$r^{\prime }(t)$ について 2次のオーダーまで展開する。）

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解答：

[1]
勾配の定義より

$$\nabla U(r)=\left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right)$$
合成関数の微分法則より
$$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{dU}{dr}\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2{)}^{1/2}=\frac{dU}{dr}\frac{x}{r}$$
同様にして $y,z$ 成分も求められるため
$$\mathbf{F}=-\nabla U=-\frac{dU}{dr}\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)=-\frac{dU}{dr}\frac{\mathbf{r}}{r}$$
(証明終)

[2]
角運動量 $\mathbf{L}$ の時間微分は

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times \mathbf{p})=\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{p}+\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{p}}$$
ここで $\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{p}=\frac{\mathbf{p}}{m}\times \mathbf{p}=0$ であり、ニュートンの運動方程式 $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}$ より
$$\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{p}}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}=\mathbf{r}\times \left(-\frac{dU}{dr}\frac{\mathbf{r}}{r}\right)=0$$
ゆえに
$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0$$
となり、角運動量 $\mathbf{L}$ は保存する。
また、外積の性質から常に $\mathbf{L}\cdot \mathbf{r}=(\mathbf{r}\times \mathbf{p})\cdot \mathbf{r}=0$ が成り立つ。保存量である定ベクトル $\mathbf{L}$ と位置ベクトル $\mathbf{r}$ が常に直交するため、粒子の運動は $\mathbf{L}$ に直交する平面内に限られる。
(証明終)

[3]
$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ を時間で微分すると

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta \\ \dot{y}& =\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta \end{array}$$
運動エネルギー $T$ は
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)\\ & =\frac{1}{2}m\left((\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta {)}^2+(\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta {)}^2\right)\\ & =\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)\end{array}$$
角運動量の大きさ $L$ は
$$\begin{array}{rl}L& =|\mathbf{r}\times \mathbf{p}|=|x(m\dot{y})-y(m\dot{x})|\\ & =m|r\cos \theta (\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta )-r\sin \theta (\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta )|\\ & =m{r}^2|\dot{\theta }|\end{array}$$
$$\boxed{T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2),L=m{r}^2|\dot{\theta }|}$$

[4]
平面内のデカルト座標を用いると、全エネルギー $E$ は

$$\boxed{E=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+U(\sqrt{x^2+y^2})}$$
この時間微分は
$$\frac{dE}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}+\frac{dU}{dr}\frac{dr}{dt}$$
運動方程式 $m\ddot{x}=-\frac{dU}{dr}\frac{x}{r}$、$m\ddot{y}=-\frac{dU}{dr}\frac{y}{r}$ を代入すると
$$m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}=-\frac{dU}{dr}\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r}$$
$r^2=x^2+y^2$ を時間微分すると $2r\dot{r}=2x\dot{x}+2y\dot{y}$ より $\dot{r}=\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r}$ となるから
$$m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}=-\frac{dU}{dr}\dot{r}$$
したがって
$$\frac{dE}{dt}=-\frac{dU}{dr}\dot{r}+\frac{dU}{dr}\dot{r}=0$$
となり、全エネルギーが保存することが示された。
(証明終)

[5]
[3]の結果より ${\dot{\theta }}^2=\frac{L^2}{m^2{r}^4}$ である。これを極座標表示の全エネルギーの式に代入すると

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2\left(\frac{L^2}{m^2{r}^4}\right)+U(r)\\ & =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+U(r)\end{array}$$
よって
$$\boxed{E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+U_{\text{eff}}(r),U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}+U(r)}$$

[6]
$U(r)=-k/r$ のとき、有効ポテンシャルは

$$U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{k}{r}$$
概略として、$r\to 0$ で $+\infty$、$r\to \infty$ で $0$ に漸近し、その間で極小値（ポテンシャルの谷）をもつ形状となる。
力がつり合う平衡点 $r_0$ では極小値をとるため
$$\frac{d{U}_{\text{eff}}}{dr}=-\frac{L^2}{m{r}^3}+\frac{k}{r^2}=0⟹r_0=\frac{L^2}{mk}$$
微小変位 $r^{\prime }(t)=r(t)-r_0$ を用いて $U_{\text{eff}}(r)$ を $r_0$ の周りで2次の項までテイラー展開する。
$$U_{\text{eff}}(r)\approx U_{\text{eff}}(r_0)+U_{\text{eff}}^{\prime }(r_0)r^{\prime }+\frac{1}{2}{U}_{\text{eff}}^{\prime \prime }(r_0)(r^{\prime }{)}^2$$
$U_{\text{eff}}^{\prime }(r_0)=0$ であり、2階微分は
$$U_{\text{eff}}^{\prime \prime }(r)=\frac{3L^2}{m{r}^4}-\frac{2k}{r^3}$$
$r_0=\frac{L^2}{mk}$ を代入すると
$$U_{\text{eff}}^{\prime \prime }(r_0)=\frac{3L^2}{m(L^2/mk{)}^4}-\frac{2k}{(L^2/mk{)}^3}=\frac{m^3{k}^4}{L^6}$$
動径方向のエネルギー保存則 $E\approx \frac{1}{2}m({\dot{r}}^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{U}_{\text{eff}}^{\prime \prime }(r_0)(r^{\prime }{)}^2+U_{\text{eff}}(r_0)$ を時間微分し、${\dot{r}}^{\prime }$ で割ると運動方程式が得られる。
$$m{\ddot{r}}^{\prime }=-U_{\text{eff}}^{\prime \prime }(r_0)r^{\prime }=-\frac{m^3{k}^4}{L^6}{r}^{\prime }$$
式を整理すると
$${\ddot{r}}^{\prime }=-\frac{m^2{k}^4}{L^6}{r}^{\prime }$$
これは単振動の運動方程式である。
$$\boxed{\text{平衡点 }{r}_0=\frac{L^2}{mk}\text{ を中心とする角振動数 }\omega =\frac{m{k}^2}{L^3}\text{ の単振動を行う。}}$$

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本题综合考察了经典力学中中心力场下的质点运动规律。主要涉及梯度与保守力的关系、角动量守恒定律的推导、动能与角动量在极坐标系下的表达形式、机械能守恒定律的证明以及利用有效势能分析一维等效径向运动。在最后一问中，通过在平衡点附近对有效势能进行泰勒展开并保留至二阶项，将原本非线性的径向运动方程线性化，从而得出质点在径向做微小简谐振动的结论，这是处理中心力场微扰问题时非常典型和重要的分析方法。