0269-2013 名情复 数学 P198

线性代数 正交化 特征向量 核空间

次の問に答えよ。

[1] 2つのベクトルを

$${\mathbf{x}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{x}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$$
とおく。次の小問に答えよ。

1. ${\mathbf{x}}_1$ と ${\mathbf{x}}_2$ は直交していないことを示せ。
2. ${\mathbf{y}}_1$ を ${\mathbf{x}}_1$ の正規化ベクトルとする。${\mathbf{y}}_1$ を示せ。
3. ${\mathbf{y}}_2$ を ${\mathbf{x}}_2$ から ${\mathbf{x}}_2$ の ${\mathbf{y}}_1$ 方向成分を取り去ったベクトルの正規化ベクトルとする。${\mathbf{y}}_2$ を示せ。

[2] 行列 $\mathbf{A}$ は正則とする。このとき，$\mathbf{A}$ の固有ベクトルと ${\mathbf{A}}^{-1}$ の固有ベクトルは一致することを示せ。

[3] 2次元ベクトル $\mathbf{y}=(y_1,y_2{)}^{\text{T}}$ （上付きの $\text{T}$ は転置を表す）は

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$
のような3次元ベクトル $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3{)}^{\text{T}}$ の関数とする。このとき $\mathbf{y}=(0,0{)}^{\text{T}}$ を満たす $\mathbf{x}$ の集合（$\mathbf{y}$ の核）を求めよ。

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解答：

[1]
1)

$${\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{x}}_2=1\times 1+2\times 3=7$$
$${\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{x}}_2\ne 0$$
よって、直交していない。(証明終)

$$\Vert {\mathbf{x}}_1\Vert =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$
$${\mathbf{y}}_1=\frac{{\mathbf{x}}_1}{\Vert {\mathbf{x}}_1\Vert }$$
$$\boxed{{\mathbf{y}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)}$$

${\mathbf{x}}_2$ の ${\mathbf{y}}_1$ 方向成分は $({\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{y}}_1){\mathbf{y}}_1$ である。

$${\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{y}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(1\times 1+3\times 2)=\frac{7}{\sqrt{5}}$$
取り去ったベクトルを ${\mathbf{u}}_2$ とおくと、
$${\mathbf{u}}_2={\mathbf{x}}_2-({\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{y}}_1){\mathbf{y}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)-\frac{7}{5}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 1/5\end{array}\right)$$
$$\Vert {\mathbf{u}}_2\Vert =\sqrt{{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$${\mathbf{y}}_2=\frac{{\mathbf{u}}_2}{\Vert {\mathbf{u}}_2\Vert }$$
$$\boxed{{\mathbf{y}}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)}$$

[2]
行列 $\mathbf{A}$ の任意の固有値を $\lambda$、対応する固有ベクトルを $\mathbf{x}\ne 0$ とおく。

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$
$\mathbf{A}$ は正則であるから $\lambda \ne 0$ である。両辺の左から ${\mathbf{A}}^{-1}$ を掛けると、
$$\mathbf{x}=\lambda {\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{x}$$
$${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{x}=\frac{1}{\lambda }\mathbf{x}$$
ゆえに、$\mathbf{x}$ は ${\mathbf{A}}^{-1}$ の固有ベクトルである。
逆に、行列 ${\mathbf{A}}^{-1}$ の任意の固有値を $\mu$、対応する固有ベクトルを $\mathbf{y}\ne 0$ とおく。
$${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{y}=\mu \mathbf{y}$$
$\mathbf{A}$ は正則であるから ${\mathbf{A}}^{-1}$ も正則であり、$\mu \ne 0$ である。両辺の左から $\mathbf{A}$ を掛けると、
$$\mathbf{y}=\mu \mathbf{A}\mathbf{y}$$
$$\mathbf{A}\mathbf{y}=\frac{1}{\mu }\mathbf{y}$$
ゆえに、$\mathbf{y}$ は $\mathbf{A}$ の固有ベクトルである。
以上より、$\mathbf{A}$ の固有ベクトルと ${\mathbf{A}}^{-1}$ の固有ベクトルは一致する。(証明終)

[3]

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$
係数行列を行基本変形する：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& -2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$$
方程式系は以下と同値である：
$$x_1+3x_3=0,x_2-2x_3=0$$
$x_3=c$ ($c$ は任意の実数) とおくと、
$$\mathbf{x}=c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$
$$\boxed{\left\{c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)|c\in \mathbb{R}\right\}}$$

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本题主要考察了线性代数中的几个基本且重要的概念。第一题涉及向量内积的计算以及格拉姆施密特正交化方法的使用，通过内积判断正交性并逐步求解标准正交基底的过程十分典型。第二题是关于矩阵特征值与特征向量的理论证明，利用逆矩阵的定义和非奇异矩阵的性质，通过等式两边同时左乘逆矩阵或原矩阵即可证明两者具有相同的特征向量但特征值互为倒数。第三题求解的是线性映射的核空间也就是齐次线性方程组的基础解系，通过对系数矩阵进行初等行变换将其化简为行最简形矩阵，就可以直接得到方程的解空间表达形式。