0267-2012 名情复 机械 P193

流体力学 理想流体 流函数与势函数

[1] 二次元空間($x-y$平面)における非圧縮性流れについて，以下の問いに答えなさい。
ただし，$x$および$y$方向の速度成分をそれぞれ$u$および$v$とする。

1. 連続の方程式を$u$および$v$を用いて表し，その物理的意味を述べよ。
2. 流れ関数$\psi$と$u$および$v$との関係を示せ。
3. 渦度$\omega$を$u$および$v$を用いて表し，その物理的意味を述べよ。
4. 速度ポテンシャル$\varphi$が存在するための流れの条件を述べよ。また，$\varphi$と$u$および$v$との関係を示せ。
5. 流線（$\psi =$一定）と等ポテンシャル線（$\varphi =$一定）が存在する場合には，両者は直交することを示せ。

[2] 流体の運動に関する以下の用語について，それぞれ150字以内で説明しなさい。
ただし，数式や図を併用してもよい。

1. Mach数
2. Bernoulliの定理
3. Eulerの運動方程式

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解答：

[1]
1)

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

物理的意味：検査体積における質量の流入量と流出量が等しいという、非圧縮性流体の質量保存則を表す。

$$\boxed{u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}}$$

$$\boxed{\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}}$$

物理的意味：流体微小要素の局所的な回転運動における平均角速度の2倍を表す。

条件：渦度 $\omega =0$ の渦なし流れ（非回転流れ）であること。

$$\boxed{u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}}$$

流線 $\psi (x,y)=\text{const.}$ における全微分は、

$$d\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=-vdx+udy=0⟹{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }=\frac{v}{u}$$

等ポテンシャル線 $\varphi (x,y)=\text{const.}$ における全微分は、

$$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy=udx+vdy=0⟹{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }=-\frac{u}{v}$$

両者の傾きの積を求めると、

$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }=\left(\frac{v}{u}\right)\left(-\frac{u}{v}\right)=-1$$

したがって、流線と等ポテンシャル線は直交する。(証明終)

[2]

1. Mach数
   流体の流速 $V$ と音速 $a$ の比 $M=V/a$ で定義される無次元数。流体の圧縮性の影響を評価する指標であり、$M<1$ を亜音速、$M>1$ を超音速と呼ぶ。

2. Bernoulliの定理
   定常な非粘性流体において、同一流線上の運動エネルギー、圧力エネルギー、位置エネルギーの和が一定に保たれるという力学的エネルギー保存則。$\frac{1}{2}\rho V^2+p+\rho gz=\text{const.}$ で表される。

3. Eulerの運動方程式
   粘性を無視した理想流体の運動を記述する方程式。流体要素に作用する質量力 $\mathbf{K}$ と圧力勾配 $-\nabla p$ の合力が、流体の加速度に等しいことを示す。$\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\mathbf{K}-\frac{1}{\rho }\nabla p$ で表される。

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这道试题全面考察了二维不可压缩流体力学中的核心运动学概念以及流体动力学的基本定理。第一部分主要围绕流函数与速度势展开。连续性方程代表了微观尺度上的质量守恒，从而可以自然地引入流函数来满足该方程；而速度势的存在则严格依赖于流场无旋这一前提条件。流函数与速度势在复变函数中共同构成了复势，通过简单的全微分关系可以直观地证明流线与等势线在二维平面上处处正交，这在物理上表明速度矢量总是沿着势函数的梯度方向，且流体微团无法跨越流线流动。第二部分要求解释流体力学中的三个高频词汇。马赫数是判断气动力学中是否需要考虑流体压缩性的根本依据；伯努利定理是理想流体沿流线的能量守恒表达式，在工程中有极为广泛的应用；欧拉运动方程则是忽略粘性力后流体微团满足牛顿第二定律的体现，同时也是推导伯努利积分的理论出发点。