0266-2012 名情复 机械 P192

材料力学 弯曲变形 应力分布 等强度梁

図のように幅 $b$ と高さ $h$ の長方形断面をもつ長さ $l$ の片持ちはりがある。断面の図心を通
り紙面に垂直な軸周りの断面二次モーメント $I$ は，$I=\frac{b{h}^3}{12}$ で計算される。また，はりのヤ
ング率は $E$ である。O-xy座標を図のようにとる。以下の二つの問に答えよ。

[1] 幅 $b$ が一定であるとする。

(1) 端点Aに力 $F$ を下向きに作用させるとき，端点Aの変位を求めよ。

(2) 壁面に接するはりの断面に発生する垂直応力とせん断力の分布を図示せよ。

(3) 点Bに位置するはりの微小要素に作用する主応力と主方向を求めよ。

[2] 幅 $b$ が $x$ の関数であるとする。

(1) 任意の $x$ について断面に発生する垂直応力が一定である平等強さのはりを設計したい。
そのための関数 $b(x)$ を求めよ。

(2) 平等強さのはりの端点Aに力 $F$ を下向きに作用した時の端点Aの変位を求め，問[1]の
はりの変位と比較せよ。

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解答：

[1]
(1)

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=F(l-x)$$ $$EI\frac{dv}{dx}=F\left(lx-\frac{x^2}{2}\right)+C_1$$ $$EIv=F\left(\frac{l}{2}{x}^2-\frac{x^3}{6}\right)+C_{1}x+C_2$$

境界条件 $x=0$ で $v=0,\frac{dv}{dx}=0$ より $C_1=0,C_2=0$。
端点A ($x=l$) の変位 $v_A$ は、

$$\boxed{v_A=\frac{F{l}^3}{3EI}}$$

(2)
壁面 ($x=0$) における曲げモーメント $M=-Fl$、せん断力 $V=F$。
垂直応力 ${\sigma }_x$ およびせん断応力 ${\tau }_{xy}$ は、

$${\sigma }_x=\frac{M}{I}y=-\frac{Fly}{I}$$ $${\tau }_{xy}=\frac{V}{2I}\left({\left(\frac{h}{2}\right)}^2-y^2\right)=\frac{F}{2I}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& {\sigma }_x=-\frac{Fly}{I}\text{(}y\text{ についての直線分布)}\\ & {\tau }_{xy}=\frac{F}{2I}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)\text{(}y\text{ についての放物線分布)}\\ & \text{※分布図の描画は省略}\end{array}}$$

(3)
点B ($x=l/2,y=-h/2$) における曲げモーメント $M_B=-F\left(l-\frac{l}{2}\right)=-\frac{Fl}{2}$。

$${\sigma }_x=\frac{-Fl/2}{I}\left(-\frac{h}{2}\right)=\frac{Flh}{4I}$$

上面においてせん断応力は ${\tau }_{xy}=0$、また自由表面より ${\sigma }_y=0$。
したがって、主応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ および主方向（$x$ 軸からの角度 $\theta$）は、

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{主応力: }{\sigma }_1=\frac{Flh}{4I},{\sigma }_2=0\\ & \text{主方向: }{\sigma }_1\text{ は }x\text{ 軸方向 }(\theta =0)\end{array}}$$

[2]
(1)
断面の最大垂直応力を一定値 ${\sigma }_a$ とすると、

$${\sigma }_a=\frac{M(x)}{Z(x)}=\frac{F(l-x)}{b(x)h^2/6}$$

これを $b(x)$ について解くと、

$$\boxed{b(x)=\frac{6F(l-x)}{{\sigma }_a{h}^2}}$$

（固定端 $x=0$ における幅を $b_0=\frac{6Fl}{{\sigma }_a{h}^2}$ とすれば、$b(x)=b_0\left(1-\frac{x}{l}\right)$ となる。）

(2)
平等強さのはりの断面二次モーメント $I(x)=\frac{b(x)h^3}{12}=\frac{Fh(l-x)}{2{\sigma }_a}$。
微分方程式は、

$$E\left(\frac{Fh(l-x)}{2{\sigma }_a}\right)\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=F(l-x)⟹\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=\frac{2{\sigma }_a}{Eh}$$

積分して境界条件 ($x=0$ で $v=0,v^{\prime }=0$) を適用すると、

$$v=\frac{{\sigma }_a}{Eh}{x}^2$$

端点A ($x=l$) の変位 $v_A^{\prime }$ は $v_A^{\prime }=\frac{{\sigma }_a{l}^2}{Eh}$。
問[1]のはりの壁面での最大応力を ${\sigma }_a=\frac{Fl}{b{h}^2/6}$ とおいて $v_A$ を書き換えると、

$$v_A=\frac{F{l}^3}{3E(b{h}^3/12)}=\frac{2l^2}{3Eh}\left(\frac{6Fl}{b{h}^2}\right)=\frac{2{\sigma }_a{l}^2}{3Eh}$$

したがって、比をとると $\frac{v_A^{\prime }}{v_A}=\frac{3}{2}$。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{端点Aの変位: }{v}_A^{\prime }=\frac{{\sigma }_a{l}^2}{Eh}\\ & \text{比較: 問[1]のはりの変位の }1.5\text{ 倍となる。}\end{array}}$$

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这道材料力学题目主要考察了悬臂梁的弯曲变形计算、截面应力分布特征以及等强度梁的设计概念。在第一部分中，基于挠曲线近似微分方程求解了恒定截面梁的自由端挠度。在分析壁面处的应力分布时，正应力沿截面高度呈线性分布，而剪应力由于横截面面积矩的变化呈现抛物线分布，且在上下边缘处为零。在讨论梁上表面一点的应力状态时，由于该点位于自由表面且无剪应力存在，仅承受纯拉伸应力，因此其处于单向应力状态，第一主应力方向即为梁的轴线方向。第二部分引入了等强度梁的设计，即通过改变截面宽度使得梁各截面的最大正应力保持为同一常数。在计算等强度梁的变形时，由于截面二次轴矩不再是常数，必须将其作为坐标的函数代入微分方程中进行积分。最终的比较结果表明，在保持最大许用应力相同的前提下，等截面梁存在材料冗余，而等强度梁虽然节省了材料，但其在相同荷载下的整体刚度会有所降低，导致末端挠度变为原来的1.5倍。