0264-2012 名情复 机械 P169

力学 拉格朗日力学 哈密顿力学 耦合振子

図のように，天井から同じ質量 $m$ の二つの物体がバネ定数 $k$, 自然長 $l_0$ の二つのバネによって吊るされている。つり合っている状態から，下の物体を静かに鉛直下向きに長さ $l$ 移動して，放した。この時の時刻を $t=0$ とする。但し，物体の大きさ，ばねの質量は無視できるとし，重力の加速度を $g$ とする。また，「バネの張力は，自然長からの変位に比例する」とする。

[1] 重力とつり合っている状態の，二つの物体の天井からの位置 $x_1^0,x_2^0$ を求めよ。
[2] つり合いの状態から $l$ 移動するまでに，系にした仕事 $W$ を求めよ。
[3] 時刻 $t$ における，物体の天井からの位置を $x_1,x_2$ として，系のポテンシャルエネルギー $U$ を求めよ。ただし，重力ポテンシャルの基準は天井を $0$ にとる。
[4] 系の運動エネルギー $T$ を求めよ。
[5] 系のラグランジアン $L(x_1,x_2,{\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2)=T-U$ を書き下し，
オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,i=1,2$
より，$x_1,x_2$ についての運動方程式を求めよ。ここで，$\dot{x}$ は $x$ の時間微分とする。
[6] つり合いの位置からのそれぞれの物体の変位を $x_1^{\prime }=x_1-x_1^0,x_2^{\prime }=x_2-x_2^0$ として，この系の $x_1^{\prime },x_2^{\prime }$ についての運動方程式を求めよ。
[7] この二つの物体からなる系は振動するが，その基準振動数 ${\omega }_1,{\omega }_2$ を求めよ。
[8] 運動方程式を解いて，質点の運動 $x_1(t),x_2(t)$ の一般解を求めよ。
[9] 一般に，ラグランジアン $L$ より，一般化運動量 $p_i\equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}$ を定義し，
$H(x_1,x_2,p_1,p_2)\equiv \sum _i{p}_i{\dot{x}}_i-L$
によってハミルトニアン $H$ を定義する。ハミルトニアン $H$ は，運動方程式にしたがって系が変化するとき，保存量であることを示せ。
[10] このときに，ハミルトニアン $H$ は系の全エネルギー $E=(T+U)$ に等しいことを示せ。
[11] [5] で与えられる系のラグランジアンに対するハミルトニアンを求めよ。
[12] 時刻 $t=0$ の初期条件で得られる運動について，保存量である系の全エネルギー $E$ を求めよ。

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解答：

[1]
それぞれの物体についての力のつり合いより、

$$\begin{array}{rl}mg+k(x_2^0-x_1^0-l_0)-k(x_1^0-l_0)& =0\\ mg-k(x_2^0-x_1^0-l_0)& =0\end{array}$$

これらを解いて、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{x}_1^0& =l_0+\frac{2mg}{k}\\ x_2^0& =2l_0+\frac{3mg}{k}\end{array}}$$

[2]
下の物体を静かに $s$ 下へ移動させる過程で、系が外部に及ぼす復元力は $-ks$ である。外力はこの力に抗して $ks$ の力を加えるため、系になされた仕事 $W$ は、

$$\boxed{W={\int }_0^{l}ksds=\frac{1}{2}k{l}^2}$$

[3]
重力ポテンシャルと弾性エネルギーの和より、

$$\boxed{U=-mg(x_1+x_2)+\frac{1}{2}k(x_1-l_0{)}^2+\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l_0{)}^2}$$

[4]

$$\boxed{T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_2^2}$$

[5]
ラグランジアンは $L=T-U$ より、

$$\boxed{\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_2^2+mg(x_1+x_2)-\frac{1}{2}k(x_1-l_0{)}^2-\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l_0{)}^2\\ m{\ddot{x}}_1& =-2k{x}_1+k{x}_2+mg\\ m{\ddot{x}}_2& =k{x}_1-k{x}_2+mg+k{l}_0\end{array}}$$

[6]
$x_1=x_1^0+x_1^{\prime },x_2=x_2^0+x_2^{\prime }$ を代入し、[1]で求めたつり合いの条件を用いると定数項が消去され、

$$\boxed{\begin{array}{rl}m{\ddot{x}}_1^{\prime }& =-2k{x}_1^{\prime }+k{x}_2^{\prime }\\ m{\ddot{x}}_2^{\prime }& =k{x}_1^{\prime }-k{x}_2^{\prime }\end{array}}$$

[7]
特解を $x_1^{\prime }=A_1{e}^{i\omega t},x_2^{\prime }=A_2{e}^{i\omega t}$ とおき、[6]の運動方程式に代入すると、

$$\left(\begin{array}{cc}-m{\omega }^2+2k& -k\\ -k& -m{\omega }^2+k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

自明でない解をもつための条件（係数行列の行列式が $0$）より、

$$(m{\omega }^2-2k)(m{\omega }^2-k)-k^2=0⟹m^2{\omega }^4-3km{\omega }^2+k^2=0$$

${\omega }^2$ について解き、正の平方根をとると、

$$\boxed{{\omega }_1=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}}}$$

[8]
基準振動数に対応する振幅比 $\frac{A_2}{A_1}=\frac{-m{\omega }^2+2k}{k}$ より、${\omega }_1$ では $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$、${\omega }_2$ では $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ となる。任意の定数 $C_1,C_2,{\varphi }_1,{\varphi }_2$ を用いて、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{x}_1(t)& =l_0+\frac{2mg}{k}+C_1\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+C_2\cos ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2)\\ x_2(t)& =2l_0+\frac{3mg}{k}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}{C}_1\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+\frac{1-\sqrt{5}}{2}{C}_2\cos ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2)\end{array}}$$

[9]
ハミルトニアンの全時間微分を計算すると、

$$\frac{dH}{dt}=\sum _i\left({\dot{p}}_i{\dot{x}}_i+p_i{\ddot{x}}_i\right)-\sum _i\left(\frac{\partial L}{\partial x_i}{\dot{x}}_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}{\ddot{x}}_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}$$

$p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}$ およびオイラー・ラグランジュ方程式 ${\dot{p}}_i=\frac{\partial L}{\partial x_i}$ を用いて整理すると、

$$\frac{dH}{dt}=\sum _i\left({\dot{p}}_i{\dot{x}}_i+p_i{\ddot{x}}_i-{\dot{p}}_i{\dot{x}}_i-p_i{\ddot{x}}_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$$

本系においてラグランジアン $L$ は陽に時間 $t$ を含まないため $\frac{\partial L}{\partial t}=0$。ゆえに $\frac{dH}{dt}=0$ であり、$H$ は保存量である。(証明終)

[10]
運動エネルギー $T$ は一般化速度 ${\dot{x}}_i$ についての二次同次関数であるため、オイラーの定理より $\sum _i\frac{\partial T}{\partial {\dot{x}}_i}{\dot{x}}_i=2T$。
$U$ は速度に依存しないため、一般化運動量は $p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}=\frac{\partial T}{\partial {\dot{x}}_i}$ となる。ハミルトニアンの定義に代入して、

$$H=\sum _i\frac{\partial T}{\partial {\dot{x}}_i}{\dot{x}}_i-(T-U)=2T-T+U=T+U=E$$

ゆえに $H=E$ である。(証明終)

[11]
一般化運動量は $p_1=m{\dot{x}}_1,p_2=m{\dot{x}}_2$ であり、これを用いて速度を消去すると、

$$\boxed{H=\frac{p_1^2+p_2^2}{2m}-mg(x_1+x_2)+\frac{1}{2}k(x_1-l_0{)}^2+\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l_0{)}^2}$$

[12]
全エネルギーは保存されるため、静止している $t=0$ でのポテンシャルエネルギーを計算すればよい。
つり合いの位置における系のポテンシャルエネルギー $U_0$ は、[1]の結果を用いて

$$U_0=-mg(x_1^0+x_2^0)+\frac{1}{2}k(x_1^0-l_0{)}^2+\frac{1}{2}k(x_2^0-x_1^0-l_0{)}^2=-3mg{l}_0-\frac{5m^2{g}^2}{2k}$$

この状態から $x_2$ のみを $l$ 変位させたときのエネルギーは、[2]で求めた外部からなされた仕事 $W$ だけ増加するため、

$$\boxed{E=U_0+W=-3mg{l}_0-\frac{5m^2{g}^2}{2k}+\frac{1}{2}k{l}^2}$$

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这道题是一道经典的分析力学综合题考查了拉格朗日力学和哈密顿力学的基本应用。题目首先从简单的静力学平衡出发确定系统的平衡位置，接着要求计算重力势能与弹性势能从而写出系统的拉格朗日量。利用欧拉-拉格朗日方程得出运动方程后，通过坐标平移将原点移动到平衡位置巧妙地消去了受力项中的常数部分，从而得到了由耦合常微分方程组描述的简谐振动模型。在求解简谐振动的固有频率时通过将解假设为指数形式，将微分方程转化为特征值问题并解出两个特征频率，这也反映了两个质点在不同振动模式下的耦合关系和振幅比例。后半部分引入了哈密顿力学的基本概念，通过勒让德变换将拉格朗日量转换为以广义坐标和广义动量为变量的哈密顿量。通过全微分公式证明了在拉格朗日量不显含时间的条件下系统的哈密顿量是一个守恒量，同时通过齐次函数的欧拉定理证明了哈密顿量在动能为速度的二次型时等价于系统的总机械能。最后结合系统的初值条件求出任意时刻都守恒的系统总能量，这一结果也恰好等价于系统在平衡态的势能加上外力缓慢拖动所做的功。