0263-2012 名情复 数学 P168

常微分方程 分离变量法 初值问题

[1] 実変数 $x$ に対する関数 $f(x)$ は

$$af(x)-f^{\prime }(x)=0(1)$$ $$f(0)=1(2)$$

を満たすとする。ここで、$a$ は $a>0$ を満たす実定数であり、$({)}^{\prime }$ は $x$ についての1階微分を示す。以下の問に答えよ。

1. 式(1), (2)を満たす $f(x)$ を $x$ の関数として求めよ。
2. 点 $x=a$ における曲線 $y=f(x)$ の接線を $x$ の関数として求めよ。また，この接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標 $x_0$，$y$ 軸との交点の $y$ 座標 $y_0$ を求めよ。
3. 問2)の接線において，$k{x}_0=y_0$ となるように定数 $a$ を定め，そのときの曲線 $y=f(x)$ とその接線を図示せよ。ここで，$k$ は $k>0$ を満たす定数である。

[2] 実変数 $x$ に対する関数 $g(x)$ は

$$(1+bx)\ln (1+bx)g^{\prime }(x)+g(x)=0(3)$$ $$g(1)=1(4)$$

を満たすとする。ここで、$b$ は $b>0$ を満たす実定数であり，$\ln (x)$ は自然対数関数を示す。微分方程式を解き，$g(x)$ を $x$ の関数として求めよ。

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解答：

[1]

1. 式 (1) より、

$$\frac{df(x)}{dx}=af(x)$$ $$\int \frac{1}{f(x)}df(x)=\int adx$$ $$\ln |f(x)|=ax+C(C\text{ は積分定数})$$ $$f(x)=A{e}^{ax}(A\text{ は任意の定数})$$

式 (2) より $f(0)=1$ であるから、

$$A{e}^0=1⟹A=1$$ $$\boxed{f(x)=e^{ax}}$$

2. $f^{\prime }(x)=a{e}^{ax}$ より、点 $x=a$ における接線の傾きは $f^{\prime }(a)=a{e}^{a^2}$、接点の座標は $(a,e^{a^2})$ である。接線の方程式は

$$y-e^{a^2}=a{e}^{a^2}(x-a)$$ $$\boxed{y=a{e}^{a^2}x+e^{a^2}(1-a^2)}$$

接線と $x$ 軸の交点 $x_0$ は、$y=0$ として

$$0=a{e}^{a^2}{x}_0+e^{a^2}(1-a^2)⟹\boxed{x_0=\frac{a^2-1}{a}}$$

接線と $y$ 軸の交点 $y_0$ は、$x=0$ として

$$\boxed{y_0=e^{a^2}(1-a^2)}$$

3. $k{x}_0=y_0$ に代入すると

$$k\frac{a^2-1}{a}=e^{a^2}(1-a^2)$$ $$(a^2-1)\left(\frac{k}{a}+e^{a^2}\right)=0$$

$a>0,k>0$ より $\frac{k}{a}+e^{a^2}>0$ であるため、

$$a^2-1=0⟹a=1(\because a>0)$$

このとき、$f(x)=e^x$、接線は $y=ex$ となる。

$$\boxed{a=1,\text{曲線 }y=e^x\text{ と接線 }y=ex\text{ の図示は省略}}$$

[2] 式 (3) より

$$(1+bx)\ln (1+bx)\frac{dg(x)}{dx}=-g(x)$$ $$\int \frac{1}{g(x)}dg(x)=-\int \frac{1}{(1+bx)\ln (1+bx)}dx$$

右辺の積分は、$u=\ln (1+bx)$ と置換すると $du=\frac{b}{1+bx}dx$ となるため、

$$\ln |g(x)|=-\frac{1}{b}\int \frac{1}{u}du=-\frac{1}{b}\ln |u|+C_1$$ $$\ln |g(x)|=-\frac{1}{b}\ln |\ln (1+bx)|+C_1(C_1\text{ は積分定数})$$ $$g(x)=C_2(\ln (1+bx){)}^{-\frac{1}{b}}(C_2\text{ は任意の定数})$$

式 (4) より $g(1)=1$ であるから、

$$1=C_2(\ln (1+b){)}^{-\frac{1}{b}}⟹C_2=(\ln (1+b){)}^{\frac{1}{b}}$$

したがって、求める関数は

$$\boxed{g(x)={\left(\frac{\ln (1+b)}{\ln (1+bx)}\right)}^{\frac{1}{b}}}$$

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本题主要考察了一阶常微分方程的求解尤其是分离变量法的应用。第一题首先通过分离变量法解出指数形式的函数，随后结合导数的几何意义求出指定点处的切线方程，并求出切线在坐标轴上的截距，最后根据给定的截距关系解出参数。在解方程时利用了参数大于零的条件排除了括号内式子为零的情况。第二题同样是利用分离变量法求解一阶常微分方程，在进行右侧积分时运用了换元积分法将对数函数作为一个整体进行凑微分处理，最后代入初值条件确定积分常数。求解过程中对数函数和指数函数的运算法则需要熟练掌握以确保最终结果的正确化简。