0262-2012 名情复 数学 P167

线性代数 二次型 特征值与特征向量

次の問に答えよ。

[1] 行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$$

の固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ と固有ベクトル ${\mathbf{\varphi }}_1=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{11}\\ {\varphi }_{21}\end{array}\right),{\mathbf{\varphi }}_2=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{12}\\ {\varphi }_{22}\end{array}\right)$ を求めよ。ただし，$||{\mathbf{\varphi }}_1||=||{\mathbf{\varphi }}_2||=1$ とする。なお，$||{\mathbf{\varphi }}_1|{|}^2={\mathbf{\varphi }}_1\cdot {\mathbf{\varphi }}_1$，$\cdot$ は内積を表す。

[2] $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$ とかく。問 [1] の $A$ に対して $x_1$-$x_2$ 平面上の2次曲線

$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}=4$$

を標準形

$${\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{y}=1$$

にかきかえたときの対角行列 $B$ を求めよ。なお，上付きの $\mathrm{T}$ は転置を表す。

[3] $\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}-14\\ 2\end{array}\right)$ として，問 [1] の $A$ に対して $x_1$-$x_2$ 平面上の2次曲線

$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{x}=4$$

を標準形

$${\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}C\mathbf{y}=1$$

にかきかえたときの $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ の変換式と対角行列 $C$ を求めよ。

[4] もしも $A$ を，固有値の一つが $0$ となるような行列におきかえたとき，問 [3] の標準形がどのような式になるか答えよ。

---

解答：

[1] 行列 $A$ の特性方程式は

$$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}5-\lambda & -3\\ -3& 5-\lambda \end{array}\right|=(5-\lambda {)}^2-9={\lambda }^2-10\lambda +16=0$$ $$(\lambda -2)(\lambda -8)=0$$

固有値は ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=8$。
${\lambda }_1=2$ のとき、$(A-2I){\mathbf{\varphi }}_1=0$ より

$$\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{11}\\ {\varphi }_{21}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)⟹{\varphi }_{11}={\varphi }_{21}$$

$||{\mathbf{\varphi }}_1||=1$ より ${\mathbf{\varphi }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$。
${\lambda }_2=8$ のとき、$(A-8I){\mathbf{\varphi }}_2=0$ より

$$\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ -3& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{12}\\ {\varphi }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)⟹{\varphi }_{12}=-{\varphi }_{22}$$

$||{\mathbf{\varphi }}_2||=1$ より ${\mathbf{\varphi }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& {\lambda }_1=2,{\lambda }_2=8\\ & {\mathbf{\varphi }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\varphi }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\end{array}}$$

(※ ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ の順序、および固有ベクトルの符号は任意)

[2] 直交行列 $P=({\mathbf{\varphi }}_1,{\mathbf{\varphi }}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ を用いて $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ とおくと、

$$P^{\mathrm{T}}AP=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 8\end{array}\right)$$

方程式に代入すると

$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}=(P\mathbf{y}{)}^{\mathrm{T}}A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)\mathbf{y}=2y_1^2+8y_2^2=4$$

両辺を4で割ると $\frac{1}{2}{y}_1^2+2y_2^2=1$。
${\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{y}=1$ と係数を比較して、

$$\boxed{B=\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)}$$

[3] 2次曲線の中心 ${\mathbf{x}}_0$ は $\nabla ({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x})=0$ すなわち $2A{\mathbf{x}}_0+\mathbf{b}=0$ を満たす。

$${\mathbf{x}}_0=-\frac{1}{2}{A}^{-1}\mathbf{b}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-14\\ 2\end{array}\right)=-\frac{1}{32}\left(\begin{array}{c}-64\\ -32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$

$\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\prime }+{\mathbf{x}}_0$ と平行移動すると、方程式は

$${\mathbf{x}}^{\prime \mathrm{T}}A{\mathbf{x}}^{\prime }+{\mathbf{x}}_0^{\mathrm{T}}A{\mathbf{x}}_0+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_0=4$$

定数項を計算すると

$${\mathbf{x}}_0^{\mathrm{T}}A{\mathbf{x}}_0+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-14& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=13-26=-13$$

よって、${\mathbf{x}}^{\prime \mathrm{T}}A{\mathbf{x}}^{\prime }=17$。
さらに問[2]と同様に ${\mathbf{x}}^{\prime }=P\mathbf{y}$ と直交変換すると $2y_1^2+8y_2^2=17$。
両辺を17で割り $\frac{2}{17}{y}_1^2+\frac{8}{17}{y}_2^2=1$ となるため、行列 $C$ が求まる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \mathbf{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathbf{y}+\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\\ & C=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{17}& 0\\ 0& \frac{8}{17}\end{array}\right)\end{array}}$$

[4] 行列 $A$ の固有値の一つが $0$ のとき、２次形式は直交変換によって一方の２乗項が消える。このとき１次の項が消去できない方向が存在すれば、適切な平行移動と回転により放物線の方程式となる。

$$\boxed{y_2^2=c{y}_1\text{または}{y}_1^2=c{y}_2(c\text{ は }0\text{ でない定数})}$$

---

这道题目主要考察了线性代数中利用正交变换和配方法化简二次型为标准形的过程。第一部分是非常基础的求解特征值与单位特征向量。第二部分利用求得的特征向量构造正交矩阵，通过坐标旋转消去交叉项，直接将特征值作为新坐标系下的平方项系数，进而得到纯二次型的标准形。第三部分在二次型的基础上加入了线性项，这代表图形在平面上发生了平移。处理这类问题的标准做法是先通过对函数求梯度令其为零（或者使用矩阵配方）找到新坐标系的中心，将坐标系平移到中心位置以彻底消去线性项，随后再次复用前一步的正交变换矩阵进行旋转，最终调整常数项得到等于1的标准方程。第四部分探讨了退化情况，当矩阵存在零特征值时，意味着二次曲线在某个主方向上没有二次增长，退化为秩为1的矩阵。如果此时在该方向上的线性项不为零，通过坐标变换后，曲线的几何形态就会表现为抛物线，其标准方程只包含一个变量的平方项和另一个变量的一次项。