0261-2011 名情复 机械 P160

控制学 自动控制 频域分析 稳态误差

［1］ 外乱$D(s)$のあるフィードバック制御系を図1に示す。図1中の偏差$E(s)$を$D(s)$，$R(s)$および$s$の式として求めよ。

［2］ 本制御系が単位ステップ外乱$d(t)=1$を受けるとする。$r(t)=10t$のランプ入力に対して，$t\to \infty$のときの定常偏差を求めよ。なお，$d(t)$と$r(t)$は，それぞれ$D(s)$と$R(s)$を逆ラプラス変換して得られる時間関数である。

［3］ 外乱のない場合の本制御系について以下の問いに答えよ。

(1) ゲイン余裕を求めよ。

(2) ゲイン交差周波数${\omega }_c$（ゲインが0dBとなるための周波数）を求めるための方程式を導け。

(3) ${\omega }_c$の式として位相余裕を求めよ。

（参考）ラプラス変換表

時間関数	ラプラス変換された関数	時間関数	ラプラス変換された関数
デルタ関数 $\delta (t)$	$1$	$t{e}^{-at}$	$1/(s+a{)}^2$
ステップ関数 $u(t)$	$1/s$	$\sin \omega t$	$\omega /(s^2+{\omega }^2)$
$t$	$1/s^2$	$\cos \omega t$	$s/(s^2+{\omega }^2)$
$(1/2)t^2$	$1/s^3$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\omega /\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$e^{-at}$	$1/(s+a)$	$e^{-at}\cos \omega t$	$(s+a)/\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$df/dt$	$sF(s)-f(0)$	$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s}$
$d^{2}f/d{t}^2$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

注）$f$ に付した「‘」と「(-1)」は，それぞれ一階微分と積分を表す。

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解答：

［1］
ブロック線図より、以下の関係式が成り立つ。

$$Y(s)=G_2(s)\left[G_1(s)E(s)+D(s)\right]$$ $$E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)-G_1(s)G_2(s)E(s)-G_2(s)D(s)$$ $$\left(1+G_1(s)G_2(s)\right)E(s)=R(s)-G_2(s)D(s)$$ $$E(s)=\frac{1}{1+G_1(s)G_2(s)}R(s)-\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}D(s)$$

ここで、$G_1(s)$ と $G_2(s)$ を代入する。

$$G_1(s)=\frac{8}{s(s+2)},G_2(s)=\frac{2}{s+8}$$ $$1+G_1(s)G_2(s)=1+\frac{16}{s(s+2)(s+8)}=\frac{s^3+10s^2+16s+16}{s(s+2)(s+8)}$$

これを $E(s)$ に代入して整理する。

$$\boxed{\begin{array}{rl}E(s)& =\frac{s(s+2)(s+8)}{s^3+10s^2+16s+16}R(s)\\ & -\frac{2s(s+2)}{s^3+10s^2+16s+16}D(s)\end{array}}$$

［2］
入力条件より、ラプラス変換は以下の通りである。

$$R(s)=\frac{10}{s^2},D(s)=\frac{1}{s}$$

閉ループ系の特性方程式は以下となる。

$$s^3+10s^2+16s+16=0$$

ラウス・フルヴィッツの安定判別法より、係数が全て正であり、$10\times 16-1\times 16=144>0$ であるため、系は安定である。最終値の定理を用いて定常偏差 $e(\infty )$ を求める。

$$e(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)$$ $$\begin{array}{rl}sE(s)& =s\left[\frac{s(s+2)(s+8)}{s^3+10s^2+16s+16}\frac{10}{s^2}-\frac{2s(s+2)}{s^3+10s^2+16s+16}\frac{1}{s}\right]\\ & =\frac{10(s+2)(s+8)}{s^3+10s^2+16s+16}-\frac{2s(s+2)}{s^3+10s^2+16s+16}\end{array}$$

極限をとる。

$$e(\infty )=\frac{10(0+2)(0+8)}{0+0+0+16}-\frac{0}{16}=\frac{160}{16}=10$$ $$\boxed{10}$$

［3］
(1)
外乱がない場合の開ループ伝達関数 $G(s)$ と周波数伝達関数 $G(j\omega )$ は以下の通りである。

$$G(s)=G_1(s)G_2(s)=\frac{16}{s(s+2)(s+8)}$$ $$G(j\omega )=\frac{16}{j\omega (-{\omega }^2+10j\omega +16)}=\frac{16}{-10{\omega }^2+j\omega (16-{\omega }^2)}$$

位相が $-180^{\circ }$ となる位相交差周波数を ${\omega }_{pc}$ とすると、分母の虚部が $0$ になる。

$${\omega }_{pc}(16-{\omega }_{pc}^2)=0⟹{\omega }_{pc}=4\text{ (rad/s)}(\because {\omega }_{pc}>0)$$

このときのゲインを計算する。

$$|G(j{\omega }_{pc})|=\left|\frac{16}{-10\times 4^2}\right|=\frac{1}{10}$$

ゲイン余裕 $\text{GM}$ を求める。

$$\boxed{\text{GM}=-20{\log }_{10}|G(j{\omega }_{pc})|=20{\log }_{10}10=20\text{ [dB]}}$$

(2)
ゲイン交差周波数 ${\omega }_c$ では $|G(j{\omega }_c)|=1$ が成り立つ。

$$|G(j{\omega }_c){|}^2=\frac{16^2}{(-10{\omega }_c^2{)}^2+{\omega }_c^2(16-{\omega }_c^2{)}^2}=1$$ $$100{\omega }_c^4+{\omega }_c^2(256-32{\omega }_c^2+{\omega }_c^4)=256$$ $${\omega }_c^6+68{\omega }_c^4+256{\omega }_c^2-256=0$$ $$\boxed{{\omega }_c^6+68{\omega }_c^4+256{\omega }_c^2-256=0}$$

(3)
周波数特性の位相角 $\angle G(j{\omega }_c)$ は各要素の位相角の和として表される。

$$\angle G(j{\omega }_c)=-90^{\circ }-{\tan }^{-1}\left(\frac{{\omega }_c}{2}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{{\omega }_c}{8}\right)$$

位相余裕 $\text{PM}$ は以下の式で計算される。

$$\text{PM}=180^{\circ }+\angle G(j{\omega }_c)$$ $$\boxed{90^{\circ }-{\tan }^{-1}\left(\frac{{\omega }_c}{2}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{{\omega }_c}{8}\right)}$$

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本题主要考察经典控制理论中反馈控制系统的误差分析以及频域指标的解析计算。第一部分通过拉普拉斯域的方框图代数运算求取多输入（参考信号与外加扰动）对误差信号的传递函数，需要特别注意比较点处的正负号。第二部分考察稳态误差的计算技巧，使用终值定理前必须先验证闭环特征方程的根均具有负实部（通过劳斯稳定判据证明系统稳定）。计算中斜坡输入对I型系统会产生恒定常数误差，而阶跃扰动产生的误差在极限趋于零时将衰减消失。第三部分是对开环系统进行伯德图相关的代数运算。幅值裕度通过令频率特性的虚部为零找出相位穿越频率，再求取对应幅值的对数倒数得到。求幅值穿越频率需根据其定义构建复数模长等于1的高次代数方程。相位裕度则直接利用其相对于-180度基准的差值，并结合反正切函数展开得到基于穿越频率的具体表达式。