0260-2011 名情复 机械 P159

流体力学 涡运动 亥姆霍兹定理 卡门涡街 空化效应 流函数 文丘里管

［１］ 流体の渦運動に関する以下の問いに答えなさい。
(1) 渦度を $\mathbf{\omega }$ とすれば，$\nabla \cdot \mathbf{\omega }=0$ であることを示しなさい。
(2) $\nabla \cdot \mathbf{\omega }=0$ の物理的な意味について述べなさい。
(3) 図1に示すように，無限の長さをもつ2本の直線の渦糸 A および B が平行に存在している。渦糸間の距離は $R$，渦糸 A および B の循環は ${\Gamma }_A$ および ${\Gamma }_B$ とする。渦糸の運動について述べなさい。なお，図を用いてもよい。

［２］ 以下の用語について，それぞれ 150 字以内で説明しなさい。ただし，数式や図を併用してもよい。
(1) カルマン渦
(2) キャビテーション
(3) 流れ関数
(4) ベンチュリー管

---

解答：

［１］
(1)
流体の速度ベクトルを $\mathbf{u}=(u,v,w)$ とおく。渦度 $\mathbf{\omega }$ は速度の回転（ローテーション）として定義されるため、

$$\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$

発散 $\nabla \cdot \mathbf{\omega }$ を計算すると、

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{\omega }& =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\\ & =\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial z\partial x}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z\partial y}\\ & =0\end{array}$$

(証明終)

(2)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{渦度場には湧き出しや吸い込みが存在しないことを示す。}\\ & \text{すなわち、渦管は流体内部で途切れることなく、閉曲線をなすか}\\ & \text{境界（または無限遠）まで達する性質（渦管の保存）を持つ。}\end{array}}$$

(3)
ビオ・サバールの法則より、各渦糸は他方の渦糸の位置に誘導速度を生じさせる。
渦糸AがBに与える速度 $v_B$、渦糸BがAに与える速度 $v_A$ はそれぞれ以下のようになる。

$$v_B=\frac{{\Gamma }_A}{2\pi R}\text{（上向き）},v_A=\frac{{\Gamma }_B}{2\pi R}\text{（下向き）}$$

2つの渦糸は共通の回転中心（渦度中心）の周りを回転する。Aから回転中心までの距離を $r_A$ とすると、${\Gamma }_A{r}_A={\Gamma }_B(R-r_A)$ が成り立つため、

$$r_A=\frac{{\Gamma }_B}{{\Gamma }_A+{\Gamma }_B}R$$

回転の角速度 $\Omega$ は、$\Omega =\frac{v_A}{r_A}$ より求まる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{2本の渦糸は、両者を結ぶ直線上の渦度中心（Aからの距離 }{r}_A=\frac{{\Gamma }_B}{{\Gamma }_A+{\Gamma }_B}R\text{）}\\ & \text{の周りを、一定の角速度 }\Omega =\frac{{\Gamma }_A+{\Gamma }_B}{2\pi R^2}\text{ で回転運動する。}\end{array}}$$

［２］
(1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{流れの中に置かれた柱状物体の後流において、両側から交互に}\\ & \text{規則正しく放出される、回転方向が逆の渦の列のこと。}\\ & \text{物体に周期的な変動力を作用させ、振動や騒音の原因となる。}\end{array}}$$

(2)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{流動する液体の局所的な静圧が、その液体の飽和蒸気圧より}\\ & \text{低くなった際に、急激に気化して多数の微小な気泡が発生する現象。}\\ & \text{気泡の崩壊時に生じる衝撃波が機器の壊食（エロージョン）をもたらす。}\end{array}}$$

(3)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{2次元非圧縮性流れにおいて、連続の式 }\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\text{ を満たす}\\ & \text{ように定義されるスカラー関数 }\psi \text{。速度は }u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}\text{ と表され、}\\ & \psi =\text{一定 の曲線は流線の軌跡を表す。}\end{array}}$$

(4)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{管路の一部を滑らかに絞った構造の管。絞り部で流速が増加し}\\ & \text{圧力が低下するベルヌーイの定理を利用し、上流部と絞り部の}\\ & \text{圧力差を測定することで管内の流量を求める装置である。}\end{array}}$$

---

第一题考查了理想流体中涡度的基本性质以及多个涡丝系统之间的相互作用定律。涡度可以看作速度场的旋度，基于矢量恒等式任意矢量场旋度的散度必定为零，这个数学结论映射到物理学中即亥姆霍兹涡定理，说明涡管在流体中具有连续且不可中断的特性。而在无限长直线平行涡丝的运动问题中，需要根据毕奥萨伐尔定律推导出各自诱导产生的速度场方向和大小，由于诱导速度垂直于二者连线，体系将以涡度权重中心为圆心维持恒定角速度转动。

第二题则是流体力学中高频出现的四个核心名词。卡门涡街是在钝体尾流中观察到的交替剥离的涡旋结构；空化效应揭示了由于动压改变导致的局部压力低于饱和蒸汽压从而引发流体汽化的相变过程；流函数是基于二维不可压流动中质量守恒方程数学构造出的函数，其等值线直观描绘了流体的运动轨迹；文丘里管是伯努利方程的典型工程应用场景，通过截面积的变化引起速度与压力的转换从而实现流量的计量。