0259-2011 名情复 机械 P158

材料力学 平面应力状态 广义胡克定律 莫尔圆 弹性常数关系

平面応力状態において，一般化フックの法則は

$${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),{\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G}$$
とかける。${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy}$ は図のような $x,y$ 座標系に対する応力，${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\gamma }_{xy}$ はひずみ，$E,\nu ,G$ はヤング率，ポアソン比，せん断弾性係数である。

［１］ ${\sigma }_x=-{\sigma }_y={\sigma }_0,{\tau }_{xy}=0$ となる応力状態のときのモールの応力円を描け。

［２］ この応力状態において，$x,y$ 座標系を反時計回りに $\theta$ だけ回転した座標系を $x^{\prime },y^{\prime }$ とする。この座標系における応力を ${\sigma }_{x^{\prime }},{\sigma }_{y^{\prime }},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ とする。

1. $\theta =\pi /6$ のときの ${\sigma }_{x^{\prime }},{\sigma }_{y^{\prime }},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ を答えよ。
2. ${\sigma }_{x^{\prime }}={\sigma }_{y^{\prime }}=0,{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}={\sigma }_0$ となるときの $\theta$ を答えよ。

［３］ さらに，この応力状態において，［２］2) の $\theta$ だけ回転した座標系を $x^{\prime },y^{\prime }$ とする。$x,y$ 座標系で表されたひずみ ${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\gamma }_{xy}$ と $x^{\prime },y^{\prime }$ 座標系で表されたひずみ ${\epsilon }_{x^{\prime }},{\epsilon }_{y^{\prime }},{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ の関係から，

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$
が成り立つことを示せ。必要であれば図を用いてよい。

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解答：

［１］
モールの応力円は、横軸に垂直応力 $\sigma$、縦軸にせん断応力 $\tau$ をとった平面上に描かれる。
与えられた応力状態は ${\sigma }_x={\sigma }_0$、${\sigma }_y=-{\sigma }_0$、${\tau }_{xy}=0$ である。
円の中心座標は $\left(\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2},0\right)=(0,0)$ となる。
円の半径は $R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}=\sqrt{{\sigma }_0^2+0}={\sigma }_0$ となる。
よって、求めるモールの応力円は原点を中心とする半径 ${\sigma }_0$ の円である。

$$\boxed{\text{中心が }(0,0)\text{ 、半径が }{\sigma }_0\text{ の円 （方程式: }{\sigma }^2+{\tau }^2={\sigma }_0^2\text{）}}$$

［２］
反時計回りに $\theta$ 回転させた座標系における応力の変換式は以下の通りである。

$${\sigma }_{x^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$$
$${\sigma }_{y^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta -{\tau }_{xy}\sin 2\theta$$
$${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$$
与えられた条件 ${\sigma }_x={\sigma }_0,{\sigma }_y=-{\sigma }_0,{\tau }_{xy}=0$ を代入すると、以下のようになる。
$${\sigma }_{x^{\prime }}={\sigma }_0\cos 2\theta$$
$${\sigma }_{y^{\prime }}=-{\sigma }_0\cos 2\theta$$
$${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-{\sigma }_0\sin 2\theta$$

1. $\theta =\pi /6$ のとき、上の式に代入して計算する。
   $${\sigma }_{x^{\prime }}={\sigma }_0\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{6}\right)={\sigma }_0\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}{\sigma }_0$$
   $${\sigma }_{y^{\prime }}=-{\sigma }_0\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{6}\right)=-{\sigma }_0\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}{\sigma }_0$$
   $${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-{\sigma }_0\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{6}\right)=-{\sigma }_0\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\sigma }_0$$

$$\boxed{{\sigma }_{x^{\prime }}=\frac{1}{2}{\sigma }_0,{\sigma }_{y^{\prime }}=-\frac{1}{2}{\sigma }_0,{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\sigma }_0}$$

2. ${\sigma }_{x^{\prime }}={\sigma }_{y^{\prime }}=0,{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}={\sigma }_0$ となるとき、
   $${\sigma }_0\cos 2\theta =0$$
   $$-{\sigma }_0\sin 2\theta ={\sigma }_0$$
   これらを満たすには、$\cos 2\theta =0$ かつ $\sin 2\theta =-1$ であればよい。
   したがって、$2\theta =-\frac{\pi }{2}+2n\pi$ ($n$ は整数) となり、
   $$\theta =-\frac{\pi }{4}+n\pi$$
   主値として代表的な角度を答える。

$$\boxed{\theta =-\frac{\pi }{4}\left(\text{または }\frac{3\pi }{4}\right)}$$

［３］
元の $x,y$ 座標系において、一般化フックの法則より各ひずみは次のように表される。

$${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{1}{E}({\sigma }_0-\nu (-{\sigma }_0))=\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_0$$
$${\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=\frac{1}{E}(-{\sigma }_0-\nu {\sigma }_0)=-\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_0$$
$${\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G}=0$$

次に、［２］2) で求めた $\theta =-\pi /4$ だけ回転した $x^{\prime },y^{\prime }$ 座標系を考える。
この座標系では、応力は ${\sigma }_{x^{\prime }}=0,{\sigma }_{y^{\prime }}=0,{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}={\sigma }_0$ である純せん断状態となっている。
したがって、この座標系でフックの法則を適用すると、せん断ひずみ ${\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ は次のように表される。

$${\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{G}=\frac{{\sigma }_0}{G}$$

一方で、ひずみの座標変換の公式

$${\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-({\epsilon }_x-{\epsilon }_y)\sin 2\theta +{\gamma }_{xy}\cos 2\theta$$
を用いて、$x^{\prime },y^{\prime }$ 座標系でのせん断ひずみを元の座標系のひずみから計算する。
$\theta =-\pi /4$ より $2\theta =-\pi /2$ であるから、$\sin (-\pi /2)=-1,\cos (-\pi /2)=0$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}& =-\left(\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_0-\left(-\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_0\right)\right)(-1)+0\\ & =\frac{2(1+\nu )}{E}{\sigma }_0\end{array}$$

フックの法則から直接求めた ${\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ と、ひずみの座標変換から求めた ${\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ は物理的に一致しなければならないため、

$$\frac{{\sigma }_0}{G}=\frac{2(1+\nu )}{E}{\sigma }_0$$
が成り立つ。${\sigma }_0\ne 0$ として両辺を整理すると、
$$\frac{1}{G}=\frac{2(1+\nu )}{E}$$
$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$
となり、与式が示された。
(証明終)

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这道题目考查了材料力学中的平面应力状态、坐标变换以及广义胡克定律的综合应用。第一小问要求定性描述莫尔圆，根据给定的双向等值异号的正应力状态可以判断这是一个典型的纯剪切状态在旋转45度后的主应力表现形式，其莫尔圆以原点为中心，半径为对应的主应力大小。第二小问涉及应力的解析坐标变换公式，通过将已知应力分量代入公式，能够计算特定角度下的应力分量，并且反向求解使得正应力为零、切应力达到最大值的旋转角度，这也印证了主应力面与最大切应力面相差45度的基本力学结论。第三小问是一道经典的证明题，利用同一个物理状态在不同坐标系下的两种表达方式的等价性来建立弹性常数之间的联系。首先在主应力坐标系下用胡克定律计算线应变，然后利用应变坐标变换公式求出旋转到纯剪切面上的切应变；另一方面，直接在该纯剪切面上应用切应力与切应变的胡克定律。将这两个切应变的表达式相互联立，自然就能推导出剪切模量、杨氏模量和泊松比之间重要的各向同性材料关系式。