0256-2011 名情复 数学 P135

常微分方程 微积分 解析几何

実変数 $x$ に対する関数 $f(x),g(x)$ は次の微分方程式を満足するものとする。

$$2f(x)f^{\prime }(x)=1$$
$$f(1)=0$$
$$1+\{g^{\prime }(x){\}}^2+g(x)g^{\prime \prime }(x)=0$$
ここで，$({)}^{\prime }$ と $({)}^{\prime \prime }$ は，それぞれ $x$ についての1階微分と2階微分を示す。以下の問いに答えよ。

［１］ 微分方程式を解き，$f(x)$ を $x$ の関数として求めよ。

［２］ $y=f(x)$ を図示せよ。

［３］ 微分方程式を解き，$g(x)$ を積分定数を含む $x$ の関数として求めよ。

［４］ $y=g(x)$ が原点を通り，$y=f(x)$ と1点で接するように関数 $g(x)$ の積分定数を求め，そのときの $y=g(x)$ を図示せよ。

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解答：

［１］
与えられた微分方程式は以下の通りである。

$$2f(x)f^{\prime }(x)=1$$
左辺は $\{f(x){\}}^2$ の微分に等しいので、両辺を $x$ で積分する。
$$\int 2f(x)f^{\prime }(x)dx=\int 1dx$$
$$\{f(x){\}}^2=x+C(C\text{ は積分定数})$$
初期条件 $f(1)=0$ を代入する。
$$0^2=1+C⟹C=-1$$
したがって、$\{f(x){\}}^2=x-1$ となる。
$$\boxed{f(x)=\pm \sqrt{x-1}(x\ge 1)}$$

［２］
$y=f(x)$ より $y^2=x-1$ である。
これは頂点が $(1,0)$ であり、$x$ 軸を対称軸として右方向に開く放物線である。
（図示の代わりに関数の幾何学的特徴を記述する）

$$\boxed{\text{グラフは }x\ge 1\text{ において定義される放物線 }{y}^2=x-1\text{ である。}}$$

［３］
与えられた微分方程式は以下の通りである。

$$1+\{g^{\prime }(x){\}}^2+g(x)g^{\prime \prime }(x)=0$$
ここで、$\{g(x)g^{\prime }(x){\}}^{\prime }=\{g^{\prime }(x){\}}^2+g(x)g^{\prime \prime }(x)$ であることを利用すると、方程式は次のように書き換えられる。
$$1+\{g(x)g^{\prime }(x){\}}^{\prime }=0$$
両辺を $x$ で積分する。
$$x+g(x)g^{\prime }(x)=C_1(C_1\text{ は積分定数})$$
$$g(x)g^{\prime }(x)=-x+C_1$$
さらに両辺を $x$ で積分する。
$$\int g(x)g^{\prime }(x)dx=\int (-x+C_1)dx$$
$$\frac{1}{2}\{g(x){\}}^2=-\frac{1}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2(C_2\text{ は積分定数})$$
$$\{g(x){\}}^2=-x^2+2C_{1}x+2C_2$$
$$\boxed{g(x)=\pm \sqrt{-x^2+2C_{1}x+2C_2}(C_1,C_2\text{ は積分定数})}$$

［４］
$y=g(x)$ が原点 $(0,0)$ を通るため、$g(0)=0$ である。

$$0=-0^2+2C_1\cdot 0+2C_2⟹C_2=0$$
よって、曲線の式は $y^2=-x^2+2C_{1}x$ となる。
$y=f(x)$ すなわち $y^2=x-1$ と1点で接する条件を求める。
まず、交点の $x$ 座標は次の方程式を満たす。
$$x-1=-x^2+2C_{1}x⟹x^2+(1-2C_1)x-1=0$$
接点において $y\ne 0$ と仮定すると、両曲線の $y$ に対する微分係数 $y^{\prime }$ が等しくなる。
$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(x-1)⟹2y{y}^{\prime }=1⟹y^{\prime }=\frac{1}{2y}$$
$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(-x^2+2C_{1}x)⟹2y{y}^{\prime }=-2x+2C_1⟹y^{\prime }=\frac{-x+C_1}{y}$$
これらが等しいので、
$$\frac{1}{2y}=\frac{-x+C_1}{y}⟹1=-2x+2C_1⟹2C_1=2x+1$$
これを交点の方程式に代入する。
$$x^2+\{1-(2x+1)\}x-1=0⟹x^2-2x^2-1=0⟹x^2=-1$$
これを満たす実数 $x$ は存在しないため、$y\ne 0$ の点で接することはない。
したがって、接点は $y=0$ の点に限られる。
$y^2=x-1$ より、$y=0$ のとき $x=1$ であり、この点で接線は垂直（$x=1$）となる。
点 $(1,0)$ が $y^2=-x^2+2C_{1}x$ 上にあるため、
$$0=-1^2+2C_1\cdot 1⟹2C_1=1⟹C_1=\frac{1}{2}$$
以上より、求める積分定数は以下の通り。
$$\boxed{C_1=\frac{1}{2},C_2=0}$$
このとき、$g(x)$ の式は $\{g(x){\}}^2=-x^2+x$ となる。
これを平方完成すると、
$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$$
$$\boxed{y=g(x)=\pm \sqrt{-x^2+x}\text{（中心 }(1/2,0)\text{, 半径 }1/2\text{ の円）}}$$

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这道题主要考察了常微分方程的求解以及平面曲线的切线条件。对于第一问，观察等式左边恰好是函数平方的导数，直接两边积分代入初始条件即可得到抛物线方程。第二问要求作图，其实质就是明确其解析几何特征，即一个开口向右的抛物线。第三问需要利用复合函数求导法则的逆向应用，识别出方程中包含导数的乘积项可以凑成全微分的形式，经过两次连续积分后可以得到一个包含两个积分常数的圆的方程。第四问是题目核心，曲线相切不仅要求在交点处坐标相等，且斜率相等。通过联立方程和斜率相等条件会发现横坐标无实数解，这暗示了切点必然出现在导数不存在的特殊点（即切线垂直于x轴的地方）。通过分析抛物线顶点 $(1,0)$ 的特性，确定了常数的值，最终确定 $g(x)$ 的图像为一个以原点和 $(1,0)$ 为直径两端的圆。