次の問いに答えよ。
［1］ 2次元ベクトル
に対して，
を満たす2次の正方行列 を求めよ。
［2］ さらに， および に対して， が成り立つとき，と の関係式を示せ。
［3］ 1次独立な 個の 次元ベクトルの2つの組 および に対して，行列 は
を満たすとする。このとき，行列 を および を用いて表せ。
解答：
［1］
とおく。条件の式より、
行列 の行列式は
よって が存在し、
したがって、
［2］
与えられた条件より、
［1］より であるため、これを代入して、
両辺に左から を乗じて、
［3］
条件より、 に対して、
これを行列形式にまとめると、
は1次独立であるため、正方行列 は正則であり、 が存在する。
両辺に左から を乗じて、
这道题主要考察了线性代数中的基底变换与坐标变换的概念。第一问通过具体的二维向量组给出了线性组合关系，要求计算过渡矩阵。将零散的向量方程写成矩阵相乘形式后，只需对原基底构成的矩阵求逆并与新基底矩阵相乘即可得到过渡矩阵。第二问是坐标变换公式的具体应用，同一向量在不同基底下的坐标通过过渡矩阵联系起来，利用第一问推导出的矩阵代数运算可以轻易得出坐标间的联系。第三问将前两问的具体二维情况推广到了n维向量空间的抽象情况，核心思想依然是将带有求和符号的向量组线性组合转化为整体的矩阵乘法，再利用基向量组的线性无关性保证原基底矩阵可逆，从而利用逆矩阵直接得出过渡矩阵的解析表达式。