0253-2010 名情复 机械 P127

流体力学 欧拉方程 伯努利定理 涡度 速度势

[1] 三次元非粘性・非圧縮性流れはオイラーの運動方程式で記述されるが，定常流の場合には次式で表される。

$$\begin{array}{rl}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}& =X-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\\ u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}& =Y-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\\ u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}& =Z-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}\end{array}\}\text{(A)}$$

ここで，$(x,y,z)$は直交座標系，$(u,v,w)$は速度，$(X,Y,Z)$は単位質量あたりに作用する体積力，$\rho$は密度，$p$は圧力である。

(1) 式(A)からベルヌイの式を導きなさい。

(2) ベルヌイの式を利用した流速測定法について述べなさい。ただし，数式や図を用いてもよい。

[2] 三次元非圧縮性流れについて，以下の問いに答えなさい。

(1) 渦度の定義を示しなさい。

(2) 速度ポテンシャル$\varphi$が存在する場合には，流れは非回転であることを示しなさい。

(3) 速度ポテンシャル$\varphi$はラプラス方程式を満たすことを示しなさい。

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解答：

[1]
(1)
流線に沿う微小な線要素ベクトルを $(dx,dy,dz)$ とすると、流線の定義より速度ベクトル $(u,v,w)$ と平行であるため、次式が成り立つ。

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=dt$$

これより $vdx=udy,wdx=udz$ などが得られる。式(A)の第1式に $dx$、第2式に $dy$、第3式に $dz$ を掛け、それぞれ左辺と右辺を加え合わせる。
左辺の和は流線の関係を用いて変形すると以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}& \left(u\frac{\partial u}{\partial x}dx+u\frac{\partial u}{\partial y}dy+u\frac{\partial u}{\partial z}dz\right)+\left(v\frac{\partial v}{\partial x}dx+v\frac{\partial v}{\partial y}dy+v\frac{\partial v}{\partial z}dz\right)+\left(w\frac{\partial w}{\partial x}dx+w\frac{\partial w}{\partial y}dy+w\frac{\partial w}{\partial z}dz\right)\\ & =udu+vdv+wdw\\ & =\frac{1}{2}d(u^2+v^2+w^2)\end{array}$$

右辺の和は以下のようになる。

$$(Xdx+Ydy+Zdz)-\frac{1}{\rho }\left(\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz\right)=(Xdx+Ydy+Zdz)-\frac{dp}{\rho }$$

保存力（重力など）のポテンシャルを $\Omega$ とすると、$(X,Y,Z)=\left(-\frac{\partial \Omega }{\partial x},-\frac{\partial \Omega }{\partial y},-\frac{\partial \Omega }{\partial z}\right)$ であり、$Xdx+Ydy+Zdz=-d\Omega$ となる。
両辺を等置して積分すると、$\rho$ は一定（非圧縮性）であるから、

$$\boxed{\int d\left(\frac{u^2+v^2+w^2}{2}\right)+\int d\Omega +\int \frac{dp}{\rho }=0⟹\frac{u^2+v^2+w^2}{2}+\Omega +\frac{p}{\rho }=C}$$

($C$は流線上の定数)

(2)
ベルヌーイの式を利用した流速測定法として、ピトー管（Pitot tube）が挙げられる。
流線上の主流における静圧を $p_1$、流速を $v$ とし、よどみ点（流速がゼロになる点）における全圧（よどみ点圧）を $p_0$ とする。重力によるポテンシャル差を無視できる同一水平面上を仮定すると、ベルヌーイの式より次式が成り立つ。

$$\boxed{\begin{array}{rl}{p}_1+\frac{1}{2}\rho v^2& =p_0\\ ⟹v& =\sqrt{\frac{2(p_0-p_1)}{\rho }}\end{array}}$$

このように、静圧 $p_1$ と全圧 $p_0$ の差である動圧を測定することで、流速 $v$ を求めることができる。

[2]
(1)
速度ベクトルを $\mathbf{v}=(u,v,w)$ とするとき、渦度 $\mathbf{\omega }$ は速度の回転（ローテーション）として次のように定義される。

$$\boxed{\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{v}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)}$$

(2)
速度ポテンシャル $\varphi$ が存在するとき、速度ベクトルは $\mathbf{v}=\nabla \varphi$ （すなわち $u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y},w=\frac{\partial \varphi }{\partial z}$）で表される。
これを渦度の定義式に代入すると、偏微分の順序交換が可能であるとして、

$$\mathbf{\omega }=\nabla \times (\nabla \varphi )=\left(\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y\partial z}-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z\partial y},\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z\partial x}-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial z},\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y\partial x}\right)=(0,0,0)$$

となり、至る所で渦度がゼロベクトル（$\mathbf{\omega }=0$）となるため、流れは非回転である。(証明終)

(3)
非圧縮性流れにおける質量保存則（連続の式）は次式で与えられる。

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$$

速度ポテンシャルの関係式 $\mathbf{v}=\nabla \varphi$ を代入すると、

$$\nabla \cdot (\nabla \varphi )=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right)=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}=0$$

すなわち ${\nabla }^2\varphi =0$ となり、速度ポテンシャル $\varphi$ はラプラス方程式を満たす。(証明終)

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这道题考察了流体力学中的基础理论推导，核心点在于欧拉方程到伯努利方程的过渡以及势流理论。

第一部分推导伯努利方程时，关键技巧是利用流线上的几何关系将三个方向的微小位移与速度分量关联起来，使得欧拉方程中复杂的对流加速度项能够巧妙地合并为动能微分的形式。通过点乘微小位移元，系统将矢量方程退化成了标量能量守恒方程。此外需要明确体积力具有势能函数（如重力势能），以及流体不可压缩带来的密度常数化，最后通过沿流线积分得到熟悉的伯努利定理。关于皮托管的测速原理，就是利用静压口和迎流总压口获得压差，直接反推动能即可。

第二部分讨论势流理论，首先明确涡度是速度场的旋度。如果速度场可以表示为某个标量函数的梯度（即存在速度势），利用数学中梯度的旋度恒为零的恒等式，可以立刻证明该流场一定是无旋的。对于不可压缩流场，其速度场的散度必然为零（连续方程）。将速度势代入散度为零的方程中，立刻就能得到势函数必须满足拉普拉斯方程。这使得复杂的流体力学问题在无粘无旋不可压缩的假设下，完全转化为了求解拉普拉斯方程的经典数学物理边界值问题。