0249-2010 名情复 数学 P105

常微分方程 二阶常系数线性微分方程 函数图像

実変数 $x$ に対する関数 $f(x),g(x)$ は $0\le x$ において次の連立微分方程式を満足するものとする。

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =0\\ g^{\prime \prime }(x)& =a^2(g(x)-f(x))\\ f(0)& =0,f^{\prime }(0)=1\\ g(0)& =-1,g^{\prime }(0)=2\end{array}$$

ここで，$({)}^{\prime }$ は $x$ についての微分を示す。$a$ は実定数であり，$a\ne 0$ とする。以下の問いに答えよ。

[1] 連立微分方程式を解き，$f(x),g(x)$ を $x$ の関数として求めよ。
[2] $a=1/2$ と $a=2$ において関数 $h(x)=g(x)-f(x)$ の概略図を描け。
[3] $h(x)=0$ を満たす $x$ が存在するための $a$ の範囲を示せ。

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解答：

[1]

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime }(x)=0⟹f(x)=C_{1}x+C_2\\ & f(0)=0⟹C_2=0\\ & f^{\prime }(0)=1⟹C_1=1\\ & ⟹f(x)=x\end{array}$$

$f(x)=x$ を $g(x)$ の方程式に代入する。

$$\begin{array}{rl}& g^{\prime \prime }(x)-a^{2}g(x)=-a^{2}x\\ & g(x)=C_3{e}^{ax}+C_4{e}^{-ax}+x\\ & g(0)=C_3+C_4=-1\\ & g^{\prime }(x)=a{C}_3{e}^{ax}-a{C}_4{e}^{-ax}+1⟹g^{\prime }(0)=a{C}_3-a{C}_4+1=2\\ & ⟹C_3-C_4=\frac{1}{a}\\ & C_3=\frac{1-a}{2a},C_4=-\frac{1+a}{2a}\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}f(x)& =x\\ g(x)& =\frac{1-a}{2a}{e}^{ax}-\frac{1+a}{2a}{e}^{-ax}+x\end{array}}$$

[2]
$h(x)=g(x)-f(x)=\frac{1-a}{2a}{e}^{ax}-\frac{1+a}{2a}{e}^{-ax}$

$a=1/2$ のとき：

$$\begin{array}{rl}& h(x)=\frac{1}{2}{e}^{x/2}-\frac{3}{2}{e}^{-x/2}\\ & h^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{e}^{x/2}+\frac{3}{4}{e}^{-x/2}>0\\ & h(0)=-1,h(\ln 3)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)=\infty \end{array}$$

$h(x)$ は単調増加する。

$a=2$ のとき：

$$\begin{array}{rl}& h(x)=-\frac{1}{4}{e}^{2x}-\frac{3}{4}{e}^{-2x}\\ & h^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}=0⟹e^{4x}=3⟹x=\frac{\ln 3}{4}\\ & h(0)=-1,h\left(\frac{\ln 3}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)=-\infty \end{array}$$

関数$h(x)$ の概略図の特徴：
$a=1/2$: 点$(0,-1)$ を起点として単調増加し、点 $(\ln 3,0)$ で $x$ 軸と交わり、$\infty$ に発散する。
$a=2$:点(0, -1)を起点として増加し、$x=\frac{\ln 3}{4}$で極大値$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとり、その後$-\infty$ に減少する。常に $x$ 軸の下方に位置する。

[3]
$h(x)=0$ を解く。

$$\begin{array}{rl}& \frac{1-a}{2a}{e}^{ax}-\frac{1+a}{2a}{e}^{-ax}=0⟺e^{2ax}=\frac{1+a}{1-a}\end{array}$$

$x\ge 0$ より、指数関数の値域を考える。
$a>0$ のとき、$2ax\ge 0$ より $e^{2ax}\ge 1$ となるため、$\frac{1+a}{1-a}\ge 1$ となる。
$1-a>0$ つまり $a<1$ のもとで $1+a\ge 1-a⟹a\ge 0$ を満たす。したがって $0<a<1$。
$a<0$ のとき、$2ax\le 0$ より $0<e^{2ax}\le 1$ となるため、$0<\frac{1+a}{1-a}\le 1$ となる。
$1-a>0$ より $0<1+a\le 1-a⟹-1<a$ かつ $a\le 0$ を満たす。したがって $-1<a<0$。

$$\boxed{0<|a|<1}$$

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求解二阶常系数线性非齐次微分方程时，通常先解出对应的齐次方程得到包含任意常数的基础解系，再利用待定系数法观察非齐次项寻找一个特解，两部分相加即为通解。方程组中虽然有两个未知函数，但第一个方程解耦，可以先解出表达式并代入第二个方程，转化为普通的单变量常微分方程。

绘制函数大致图像时不仅需要计算导数找出单调区间与极值点，还要关注定义域起点的位置、在坐标轴上的截距以及自变量趋于无穷时的渐近行为。对于零点存在性问题，可以通过移项化简出指数函数，再结合已知自变量范围确定指数函数的值域，从而反推出参数必须满足的不等式条件。在解分式不等式时需要对参数的正负进行严谨的分类讨论，确保不等号方向的正确传递。