0246-2009 名情复 机械 P96

流体力学 连续性方程 涡度 流函数 雷诺数 伯努利方程

[1] 二次元非圧縮性流れについて，以下の問いに答えなさい。

(1) 連続の式を導きなさい。

(2) 渦度の定義を示したのち，流れが渦なしの場合には，流れ関数 $\psi$ はラプラス方程式を満たすことを示しなさい。

[2] 以下の用語について，それぞれ 100 字以内で説明しなさい。
ただし，数式や図を用いてもよい。

(1) レイノルズ数

(2) 循環

(3) 速度ポテンシャル

(4) ベルヌイの式

(5) ピトー管

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解答：

[1]
(1)
微小検査体積 $dxdy$ に対する質量保存則より、単位時間あたりの流入質量と流出質量の差はゼロとなる。

$$\rho udy+\rho vdx-\rho \left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)dy-\rho \left(v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)dx=0$$ $$-\rho \left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy=0$$

非圧縮性流れのため密度 $\rho$ は一定である。両辺を $-\rho dxdy$ で割ると、次式を得る。

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

(2)
二次元流れにおける渦度 $\omega$ の定義は以下の通りである。

$$\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

また、二次元非圧縮性流れにおいて、流れ関数 $\psi$ を用いた速度成分の定義は次のようになる。

$$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$$

流れが渦なし（$\omega =0$）であるとき、流れ関数の定義式を渦度の式に代入すると、

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)=0$$ $$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$$ $${\nabla }^2\psi =0$$

したがって、渦なし流れにおいて流れ関数 $\psi$ はラプラス方程式を満たす。(証明終)

[2]
(1) レイノルズ数
流体の慣性力と粘性力の比を表す無次元数であり、$Re=\frac{UL}{\nu }$（$U$:代表速度, $L$:代表長さ, $\nu$:動粘性係数）で定義される。流れが層流か乱流かを判定する重要な指標となる。

(2) 循環
流体中の任意の閉曲線 $C$ に沿う速度ベクトル $\mathbf{v}$ の線積分 $\Gamma ={\oint }_C\mathbf{v}\cdot d\mathbf{s}$ で定義され、その閉曲線が囲む領域全体の巨視的な渦の強さを表すスカラー量である。

(3) 速度ポテンシャル
渦なし流れ（$\nabla \times \mathbf{v}=0$）において存在するスカラー関数 $\varphi$ のこと。速度ベクトル $\mathbf{v}$ を、その空間勾配を用いて $\mathbf{v}=\nabla \varphi$ として表現できる。

(4) ベルヌイの式
定常、非粘性、非圧縮性の流線上で成り立つ力学的エネルギー保存則。$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{const}$（$p$:圧力, $\rho$:密度, $v$:流速, $z$:高さ）と表される。

(5) ピトー管
流れに正対させた開口部でよどみ点圧力（全圧）を、側面の孔で静圧を測定し、ベルヌイの定理に基づいてこれら両者の差圧（動圧）から流体の局所流速を求める測定装置である。

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补充：
本题主要考察流体力学的基础控制方程以及重要物理概念。第一题要求推导二维不可压缩流体的连续性方程，通过在一个微小控制体上建立质量守恒关系并消去常数密度即可得出。同时考察了涡度的定义以及流函数在无涡流条件下的性质，只需将流函数的偏导数定义代入涡度表达式，并令涡度为零，即可自然导出流函数必定满足拉普拉斯方程的结论。第二题是简答题，涉及雷诺数、环量、速度势、伯努利方程和皮托管这五个核心术语，作答时应尽可能结合数学公式直击其物理本质，例如明确指出雷诺数反映了惯性力与粘性力的相对大小，而伯努利方程则是理想流体沿流线能量守恒律的数学表达。