0245-2009 名情复 机械 P95

材料力学 薄壁圆筒

内圧 $p$ を受ける容器に作用する応力に関する以下の設問に答えよ。いずれの設問においても $p=2\text{ MPa}$ とせよ。
（注）寸法単位は mm とし，内圧は正圧を正，応力は引張りを正，圧縮を負とし，大気圧は無視できるものとせよ。
[1] 図1に示すように鋼製容器の寸法は内径 $2r_1=200\text{ mm}$, 内部高さ $h=200\text{ mm}$, 壁厚 $t_1=5\text{ mm}$ とする。また，上下は鋼製剛体円板で蓋をされている。
(1-1) 内圧 $p$ による外力と周方向応力 ${\sigma }_{\theta ,1}$ の内力の間のつりあい式を書け。
(1-2) 具体的な数値を代入して ${\sigma }_{\theta ,1}$ の値を求めよ。
(1-3) 内圧 $p$ による外力と軸方向応力 ${\sigma }_{z,1}$ の内力の間のつりあい式を書け。
(1-4) 具体的な数値を代入して ${\sigma }_{z,1}$ の値を求めよ。
[2] 図2に示すように図1の鋼円管の中にさらに銅円管がある二重円管の間で内圧 $p$ を受けている。銅円管の寸法は外径 $2r_2=100\text{ mm}$, 壁厚 $t_2=10\text{ mm}$ とする。また，鋼，銅の縦弾性係数 $E_1,E_2$ を $200\text{ GPa}$, $100\text{ GPa}$ とせよ。
(2-1) 内圧 $p$ による外力と銅円管の周方向応力 ${\sigma }_{\theta ,2}$ の内力の間のつりあい式を書け。
(2-2) 具体的な数値を代入して ${\sigma }_{\theta ,2}$ の値を求めよ。
(2-3) 内圧 $p$ による外力と鋼管の軸方向応力 ${\sigma }_{z,2}$ および銅円管の軸方向応力 ${\sigma }_{z,3}$ の内力の間のつりあい式を書け。
(2-4) 二重円管の軸方向の変形量 $\lambda$ を ${\sigma }_{z,2}$ および ${\sigma }_{z,3}$ で与える式を書け。
(2-5) 上の(2-3), (2-4)の連立方程式を解き，${\sigma }_{z,2}$ および ${\sigma }_{z,3}$ を求めよ。
(2-6) 具体的な数値を代入して ${\sigma }_{z,2}$ および ${\sigma }_{z,3}$ の値を求めよ。

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解答：

[1]
(1-1)
微小長さ $h$ の半円筒について、直径方向の力のつりあいより、

$$\boxed{2p{r}_{1}h=2{\sigma }_{\theta ,1}{t}_{1}h}$$

(1-2)

$${\sigma }_{\theta ,1}=\frac{p{r}_1}{t_1}=\frac{2\times 100}{5}=40\text{ MPa}$$ $$\boxed{{\sigma }_{\theta ,1}=40\text{ MPa}}$$

(1-3)
軸方向の力のつりあいより、

$$\boxed{p\pi r_1^2={\sigma }_{z,1}\cdot 2\pi r_1{t}_1}$$

(1-4)

$${\sigma }_{z,1}=\frac{p{r}_1}{2t_1}=\frac{2\times 100}{2\times 5}=20\text{ MPa}$$ $$\boxed{{\sigma }_{z,1}=20\text{ MPa}}$$

[2]
(2-1)
銅円管は外側から圧力を受けるため、

$$\boxed{-2p{r}_{2}h=2{\sigma }_{\theta ,2}{t}_{2}h}$$

(2-2)

$${\sigma }_{\theta ,2}=-\frac{p{r}_2}{t_2}=-\frac{2\times 50}{10}=-10\text{ MPa}$$ $$\boxed{{\sigma }_{\theta ,2}=-10\text{ MPa}}$$

(2-3)
両端の剛体円板に働く外力と、各円管の軸力（引張）のつりあいより、

$$\boxed{p\pi (r_1^2-r_2^2)=2\pi r_1{t}_1{\sigma }_{z,2}+2\pi r_2{t}_2{\sigma }_{z,3}}$$

(2-4)
フックの法則より、

$$\boxed{\lambda =\frac{{\sigma }_{z,2}h}{E_1}=\frac{{\sigma }_{z,3}h}{E_2}}$$

(2-5)
(2-4)より ${\sigma }_{z,3}=\frac{E_2}{E_1}{\sigma }_{z,2}$ を(2-3)の式 $p(r_1^2-r_2^2)=2r_1{t}_1{\sigma }_{z,2}+2r_2{t}_2{\sigma }_{z,3}$ に代入して整理すると、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\sigma }_{z,2}& =\frac{p(r_1^2-r_2^2)E_1}{2(r_1{t}_1{E}_1+r_2{t}_2{E}_2)}\\ {\sigma }_{z,3}& =\frac{p(r_1^2-r_2^2)E_2}{2(r_1{t}_1{E}_1+r_2{t}_2{E}_2)}\end{array}}$$

(2-6)
$p=2,r_1=100,t_1=5,E_1=200,r_2=50,t_2=10,E_2=100$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{z,2}& =\frac{2\times (10000-2500)\times 200}{2\times (100\times 5\times 200+50\times 10\times 100)}=\frac{15000\times 200}{200000+100000}=10\text{ MPa}\\ {\sigma }_{z,3}& =\frac{E_2}{E_1}{\sigma }_{z,2}=\frac{100}{200}\times 10=5\text{ MPa}\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}{\sigma }_{z,2}& =10\text{ MPa}\\ {\sigma }_{z,3}& =5\text{ MPa}\end{array}}$$

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补充：
本题主要考察薄壁圆筒受内压时的应力分析以及静定与超静定问题的求解。对于单层圆筒，通过截面法直接利用平衡方程即可求出周向应力和轴向应力。对于双层圆筒的轴向应力求解，由于两个圆筒共同抵抗由于端盖受压产生的轴向力，属于一次超静定问题。此时需要结合静力平衡方程与变形协调条件，即两圆筒轴向伸长量相等，联立进行求解。在列周向受力平衡方程时，需注意内管受外压，因此其周向应力为压应力，计算结果符号为负。同时在此类基础结构力学题目中通常采用薄壁近似，横截面积直接采用圆周长乘以壁厚来简化计算过程。