0243-2009 名情复 机械 P76

力学 分析力学 拉格朗日力学 哈密顿力学 简谐振动

片方の端点を固定したバネ定数 $k$ のバネに付けられた質量 $m$ の質点が，自然長 $l_0$
から $l$ まで，バネに抗する力で移動されて放された。「バネの張力は，自然長からわ
ずかに移動する時，その変位に比例する」とする。

[1] 自然長 $l_0$ から $l$ までバネに抗する力でわずかに移動したときに，系にした仕事
$W$ を求めよ。

[2] 時刻 $t$ における自然長 $l_0$ からの変位を $x$ として，系のポテンシャルエネルギー
$U$ を求めよ。

[3] 系の運動エネルギー $T$ を求めよ。

[4] 系のラグランジアン $L(x,\dot{x})=T-U$ を書き下し，
オイラー・ラグランジュ方程式

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial x}=0$$

により，この系の運動方程式を求めよ。

[5] 長さ $l$ で放したときを時刻 $t=0$ とする初期条件で運動方程式を解いて，質点の
運動 $x(t)$ を求めよ。

[6] 質点の運動をグラフ（横軸 $t$, 縦軸 $x$）に図示せよ。

[7] ラグランジアン $L(x,\dot{x})$ より，一般化運動量 $p\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ を定義し，
$H(x,p)\equiv p\dot{x}-L(x,\dot{x})$ によってハミルトニアン $H(x,p)$ を定義する。ハミル
トニアンを求めよ。

[8] [4] で求めたオイラー・ラグランジュ方程式（運動方程式）が，
ハミルトン方程式

$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x},\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}$$

と同等であることを示せ。

[9] ハミルトニアン $H$ は，運動方程式にしたがって系が変化するとき，保存量であ
ることを示せ。

[10] このときに，ハミルトニアン $H$ は系の全エネルギー $(T+U)$ であることを示せ。

[11] 系の全エネルギー $E$ を求めよ。

[12] この系の運動は位相空間 $(x,p)$ 上でどう表されるか，その軌道を描き，時間変化
の様子を矢印で図示せよ。

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解答：

[1]

$$W={\int }_0^{l-l_0}kxdx=\frac{1}{2}k(l-l_0{)}^2$$ $$\boxed{W=\frac{1}{2}k(l-l_0{)}^2}$$

[2]

$$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$$ $$\boxed{U=\frac{1}{2}k{x}^2}$$

[3]

$$\boxed{T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2}$$

[4]

$$L(x,\dot{x})=T-U=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$ $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x},\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$$ $$\frac{d}{dt}(m\dot{x})-(-kx)=0$$ $$\boxed{m\ddot{x}+kx=0}$$

[5]

$$\ddot{x}=-\frac{k}{m}x\Rightarrow x(t)=A\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi \right)$$ $$x(0)=A\cos \varphi =l-l_0,\dot{x}(0)=-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin \varphi =0$$

$\varphi =0,A=l-l_0$ より、

$$\boxed{x(t)=(l-l_0)\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}$$

[6]
$x(t)$ は振幅 $l-l_0$、周期 $2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ の余弦曲線となる。

$$\boxed{\text{横軸 }t,\text{縦軸 }x\text{ とし、}t=0\text{ で }x=l-l_0\text{ から始まる周期的な余弦曲線を描く}}$$

[7]

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}\Rightarrow \dot{x}=\frac{p}{m}$$ $$H(x,p)=p\left(\frac{p}{m}\right)-\left[\frac{1}{2}m{\left(\frac{p}{m}\right)}^2-\frac{1}{2}k{x}^2\right]=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2$$ $$\boxed{H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2}$$

[8]

$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-kx$$ $$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}$$

第2式を時間微分し第1式を代入する：

$$\ddot{x}=\frac{\dot{p}}{m}=\frac{-kx}{m}\Rightarrow m\ddot{x}+kx=0$$

(証明終)

[9]

$$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial x}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial H}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial x}\right)=0$$

(証明終)

[10]
$p=m\dot{x}$ より：

$$H=\frac{(m\dot{x}{)}^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=T+U$$

(証明終)

[11]

$$E=H(t=0)=\frac{1}{2}k(l-l_0{)}^2$$ $$\boxed{E=\frac{1}{2}k(l-l_0{)}^2}$$

[12]
全エネルギー $E$ は一定であるため、

$$\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2=E\Rightarrow \frac{x^2}{2E/k}+\frac{p^2}{2mE}=1$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{軌道: }\frac{x^2}{2E/k}+\frac{p^2}{2mE}=1\text{ （楕円）}\\ & \text{時間変化の様子: }\dot{x}=p/m\text{ より }p>0\text{ で }x\text{ は増加するため、時計回りの矢印}\end{array}}$$

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补充：
简谐振子模型是经典力学中极为基础的问题。本题从保守力做功出发引入势能与动能，进而构造拉格朗日量并利用欧拉-拉格朗日方程得出运动方程。拉格朗日力学侧重于系统在构型空间中的演化过程，而通过定义广义动量进行勒让德变换后，系统描述便转换到了相空间并引出哈密顿量。哈密顿方程给出了系统在相空间的演化形式，借由偏导数计算可直接验证保守系统下哈密顿量对时间的全导数为零，从而体现能量守恒定律。由于总能量在时间上是个常数，系统在相空间中的运动轨迹必定是等能面，对于此问题即表现为一条随着时间顺时针旋转的椭圆形相轨道。