0242-2009 名情复 数学 P75

常微分方程 函数极值

変数 $x(0\le x\le 2)$ の関数 $f_1(x),f_2(x)$ が次の連立微分方程式を満足するものとする。

$$\begin{array}{rl}{f}_1^{\prime \prime }(x)+f_2^{\prime \prime }(x)+f_1(x)-a{f}_2^{\prime }(x)& =0\\ f_1^{\prime \prime }(x)-2f_2^{\prime \prime }(x)+f_1(x)+2a{f}_2^{\prime }(x)& =0\\ f_1^{\prime }(0)=f_2(0)& =1\\ f_1(0)& =0\\ f_2^{\prime }(0)& =a\end{array}$$

ここで、$({)}^{\prime }$ は $x$ についての微分を示す。また、$a$ は実定数である。以下の問いに答えよ。

[1] 連立微分方程式を解き、$f_1(x),f_2(x)$ を $x$ の関数として求めよ。
[2] 関数 $g(x)=\max (f_1(x),f_2(x))$ の概略図を描け。ここで、関数 $\max (c_1,c_2)$ は $c_1,c_2$ の大きい方を与える関数である。
[3] 関数 $g(x)$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

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解答：

[1]
与えられた連立微分方程式を以下のようにする。

$$\begin{array}{rl}{f}_1^{\prime \prime }(x)+f_2^{\prime \prime }(x)+f_1(x)-a{f}_2^{\prime }(x)& =0\cdots (1)\\ f_1^{\prime \prime }(x)-2f_2^{\prime \prime }(x)+f_1(x)+2a{f}_2^{\prime }(x)& =0\cdots (2)\end{array}$$

$2\times (1)+(2)$ より次式を得る。

$$f_1^{\prime \prime }(x)+f_1(x)=0$$

一般解 $f_1(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$ に初期条件 $f_1(0)=0,f_1^{\prime }(0)=1$ を適用し次式を得る。

$$f_1(x)=\sin x$$

$(1)-(2)$ より次式を得る。

$$f_2^{\prime \prime }(x)-a{f}_2^{\prime }(x)=0$$

一般解（$a\ne 0$ のとき $f_2(x)=C_3+C_4{e}^{ax}$、$a=0$ のとき $f_2(x)=C_{3}x+C_4$）に初期条件 $f_2(0)=1,f_2^{\prime }(0)=a$ を適用し次式を得る。

$$f_2(x)=e^{ax}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}{f}_1(x)& =\sin x\\ f_2(x)& =e^{ax}\end{array}}$$

[2]
$g(x)=\max (\sin x,e^{ax})(0\le x\le 2)$ の概略図は $a$ の符号により以下の特徴を持つ。
$a>0$ のとき、$e^{ax}\ge 1\ge \sin x⟹g(x)=e^{ax}$ となり、点 $(0,1)$ から $(2,e^{2a})$ へ単調増加する曲線となる。
$a=0$ のとき、$g(x)=\max (\sin x,1)=1$ となり、$y=1$ の水平な直線となる。
$a<0$ のとき、$g(0)=\max (0,1)=1$、$g(\pi /2)=\max (1,e^{a\pi /2})=1$ である。$x=0$ で $1$ から減少し、$\sin x$ と交差した後は $\sin x$ の曲線となり $x=\pi /2$ で極大値 $1$ をとり再び減少する曲線となる。

$$\boxed{g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{ax}& (a\ge 0)\\ \max (\sin x,e^{ax})& (a<0)\end{array}\text{ に基づく形状の曲線}}$$

[3]
$g(x)$ の最大値およびそのときの $x$ は以下の通りである。

$$\boxed{\begin{array}{rl}a>0\text{ のとき、最大値 }& e^{2a}(x=2)\\ a=0\text{ のとき、最大値 }& 1(0\le x\le 2)\\ a<0\text{ のとき、最大値 }& 1(x=0,\frac{\pi }{2})\end{array}}$$

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补充：
求解此常微分方程组的关键在于利用加减消元法将两个未知函数分离从而转化为熟悉的高阶常系数线性微分方程。在讨论最大值和作图时需要对参数进行分类讨论。指数函数的值域和单调性高度依赖于参数的符号同时必须结合正弦函数在给定区间内的有界性及特殊点的位置来全面分析。