0241-2009 名情复 数学 P74

线性代数 内积空间 正交矩阵

$n$ は2以上の自然数として以下の問[1]と[2]に答えよ。

[1] 線形空間 $V$ に 1 次独立な元 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ がある。 ${\mathbf{v}}_i$ と ${\mathbf{v}}_j$ の内積を計算すると，

$${\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}(i,j=1,2,\cdots ,n)\text{ となるとする。}$$

(1) 任意のベクトル $\mathbf{V}$ を次式のように ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ の線形結合で表すとき，

$$\mathbf{V}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$$

係数 $c_i$ を求めるには， $\mathbf{V}$ と ${\mathbf{v}}_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の内積を計算すればよいことを示せ。

(2) ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ から，$n$ 個の元 ${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3,\cdots ,{\mathbf{v}}_n+{\mathbf{v}}_1$ をつくるとき，新しくつくられた $n$ 個の元が 1 次独立となるためには $n$ が奇数と偶数のどちらになるべきか判定せよ。なお，その答えに至った根拠も示せ。

[2] $n\times n$ 直交行列 $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ がある。

(1) $\mathbf{A}\mathbf{B}$ が直交行列であることを示せ。

(2) $\mathbf{A}$ の行列式が $\pm 1$ となることを示せ。

(3) $\mathbf{A}$ は $n(n-1)/2$ 個の独立なパラメータを持つことを示せ。

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解答：

[1]
(1)

$$\mathbf{V}\cdot {\mathbf{v}}_i=\left(\sum _{j=1}^n{c}_j{\mathbf{v}}_j\right)\cdot {\mathbf{v}}_i$$ $$\mathbf{V}\cdot {\mathbf{v}}_i=\sum _{j=1}^n{c}_j({\mathbf{v}}_j\cdot {\mathbf{v}}_i)$$ $$\mathbf{V}\cdot {\mathbf{v}}_i=\sum _{j=1}^n{c}_j{\delta }_{ji}=c_i$$

(証明終)

(2)

$$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i({\mathbf{v}}_i+{\mathbf{v}}_{i+1})+a_n({\mathbf{v}}_n+{\mathbf{v}}_1)=0$$ $$(a_1+a_n){\mathbf{v}}_1+\sum _{i=2}^n(a_i+a_{i-1}){\mathbf{v}}_i=0$$

${\mathbf{v}}_i$ は1次独立であるため、

$$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_n=0\\ a_i+a_{i-1}=0(i=2,\cdots ,n)\end{array}$$ $$a_1=-a_2=a_3=\cdots =(-1{)}^{n-1}{a}_n$$ $$a_n=(-1{)}^{n-1}{a}_1$$

$a_1+a_n=0$ に代入して、

$$a_1+(-1{)}^{n-1}{a}_1=0$$ $$(1+(-1{)}^{n-1})a_1=0$$

新しくつくられた元が1次独立となるためには、$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ が唯一の解でなければならない。
したがって、$1+(-1{)}^{n-1}\ne 0$ となる。

$$(-1{)}^{n-1}=1$$ $$\boxed{n\text{ は奇数}}$$

[2]
(1)
$\mathbf{A},\mathbf{B}$ は直交行列であるため、

$${\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{I},{\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}=\mathbf{I}$$ $$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\top }(\mathbf{A}\mathbf{B})={\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}\mathbf{B}$$ $$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\top }(\mathbf{A}\mathbf{B})={\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{I}\mathbf{B}={\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}=\mathbf{I}$$

(証明終)

(2)

$${\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{I}$$ $$|{\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}|=|\mathbf{I}|$$ $$|{\mathbf{A}}^{\top }||\mathbf{A}|=1$$ $$|\mathbf{A}{|}^2=1$$ $$|\mathbf{A}|=\pm 1$$

(証明終)

(3)
$n\times n$ 行列 $\mathbf{A}$ の要素数は $n^2$ 個である。
条件 ${\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{I}$ において、左辺 ${\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}$ は対称行列であるため、独立な条件式の数は対角成分と上三角（または下三角）成分の数の和に等しい。

$$n+\frac{n^2-n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$$

したがって、独立なパラメータの数は総要素数から独立な条件式の数を引いたものとなる。

$$n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$

(証明終)

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本题主要考察线性代数中内积空间与正交矩阵的基本性质。第一部分涉及正交基坐标的求解以及由原向量组构造的新向量组的线性相关性判定。利用内积的双线性性质及正交条件可以快速提取出原向量组的线性组合系数。在判断新向量组的线性无关性时，通过构造齐次线性方程组并利用原向量组的线性无关性推导出系数的递推关系，可以发现只有当向量总数为奇数时该方程组才只有零解。第二部分围绕正交矩阵展开，利用正交矩阵转置等于其逆矩阵的定义，可由矩阵乘法的转置运算法则直接证明两个正交矩阵的乘积依然正交。通过对正交条件两边同时取行列式，结合转置矩阵行列式不变的性质，能够推导出正交矩阵的行列式必然为正负一。最后根据正交条件所对应的对称矩阵方程，计算出独立约束条件的数量，用矩阵元素总数减去约束条件数即可得出正交矩阵中独立参数的个数。