0240-2006 名情复 机械 P72

傅里叶与拉普拉斯变换 常微分方程 控制学 电路分析

[1] ラプラス変換を用いて次の微分方程式の解を求めよ．

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\frac{dx}{dt}+2x=0,x(0)=0,\frac{dx}{dt}(0)=1$$

[2] 図に示す回路について次の問に答えよ．
(1) 初期値を0として，入力 $E_i(s)$ と出力 $E_o(s)$ の伝達関数 $G(s)$ を求めよ．ここで，入力 $E_i(s)$ と出力 $E_o(s)$ は，それぞれ入力電圧 $e_i(t)$ と出力電圧 $e_o(t)$ をラプラス変換して得られた関数とする．
(2) 上で求めた伝達関数の単位ステップ応答 $y(t)$ を求めよ．また，同じ回路に対する周波数伝達関数から，ゲインと位相を求めよ．

（参考）ラプラス変換表

時間関数	ラプラス変換された関数	時間関数	ラプラス変換された関数
デルタ関数 $\delta (t)$	$1$	$t{e}^{-at}$	$1/(s+a{)}^2$
ステップ関数 $u(t)$	$1/s$	$\sin \omega t$	$\omega /(s^2+{\omega }^2)$
$t$	$1/s^2$	$\cos \omega t$	$s/(s^2+{\omega }^2)$
$(1/2)t^2$	$1/s^3$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\omega /\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$e^{-at}$	$1/(s+a)$	$e^{-at}\cos \omega t$	$(s+a)/\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$df/dt$	$sF(s)-f(0)$	$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s}$
$d^{2}f/d{t}^2$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

注）$f$ に付した「‘」と「(-1)」は，それぞれ一階微分と積分を表す。

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解答：

[1]
微分方程式の両辺をラプラス変換し，$x(t)$ のラプラス変換を $X(s)$ とおくと，

$$\left(s^{2}X(s)-sx(0)-x^{\prime }(0)\right)+2\left(sX(s)-x(0)\right)+2X(s)=0$$

初期条件 $x(0)=0,x^{\prime }(0)=1$ を代入すると，

$$s^{2}X(s)-1+2sX(s)+2X(s)=0$$ $$(s^2+2s+2)X(s)=1$$ $$X(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}=\frac{1}{(s+1{)}^2+1^2}$$

ラプラス逆変換を行うと，

$$\boxed{x(t)=e^{-t}\sin t(t\ge 0)}$$

[2]
(1)
インピーダンスを用いると，抵抗は $R$，キャパシタは $\frac{1}{sC}$ となる．分圧の法則より，

$$E_o(s)=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}{E}_i(s)$$

伝達関数 $G(s)$ は，

$$\boxed{G(s)=\frac{E_o(s)}{E_i(s)}=\frac{1}{RCs+1}}$$

(2)
単位ステップ入力 $e_i(t)=u(t)$ のラプラス変換は $E_i(s)=\frac{1}{s}$ である．出力 $Y(s)$ は，

$$Y(s)=G(s)E_i(s)=\frac{1}{s(RCs+1)}=\frac{1}{s}-\frac{RC}{RCs+1}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}$$

ラプラス逆変換を行い，単位ステップ応答 $y(t)$ を求める．

$$y(t)=1-e^{-\frac{t}{RC}}(t\ge 0)$$

周波数伝達関数は $s=j\omega$ を代入して，

$$G(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}$$

ゲイン $|G(j\omega )|$ と位相 $\angle G(j\omega )$ は以下のようになる．

$$|G(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1^2+(\omega RC{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}$$ $$\angle G(j\omega )=-\arctan (\omega RC)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}y(t)& =1-e^{-\frac{t}{RC}}(t\ge 0)\\ \text{ゲイン: }|G(j\omega )|& =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}\\ \text{位相: }\angle G(j\omega )& =-\arctan (\omega RC)\end{array}}$$

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这道题考察了使用拉普拉斯变换求解常系数齐次常微分方程，以及控制工程与电路分析中一阶RC低通滤波器的传递函数推导、阶跃响应计算和频率特性分析。第一题通过拉普拉斯变换将时域的微分方程转换为复频域的代数方程，代入初始条件求解出系统响应的拉普拉斯变换表达式后，通过简单的代数配方并对照题目给定的拉普拉斯变换表即可直接逆变换求得时域解析解。第二题则要求基于阻抗分压原理写出RC低通滤波电路的传递函数，然后利用部分分式展开法将阶跃响应在复频域分离，再求其时域的单位阶跃响应，最后将传递函数中的拉普拉斯算子替换为虚数单位与角频率的乘积得到频率传递函数，进而计算得出该系统振幅的衰减系数也就是增益以及相频特性即相位滞后角。