0239-2006 名情复 机械 P71

流体力学 静水压强 伯努利方程 皮托管

次の設問［１］、［２］に答えなさい。

［１］　水タンク壁面に設置された平板に働く力（全圧力）と、その作用点（圧力中心）の深さを考えます。
流体は静止しており、平板はタンク側壁に鉛直方向に設置されています。タンク内の水の密度は $\rho$、重力加速度は $g$ です。平板の上部、下部の、水面からの深さ $z$ は、それぞれ $h_t$、$h_b$ です。指定されている以外の記号が必要な場合は、適宜、定義しなさい。
１）平板が、水平方向の幅が $b$ の長方形の場合、平板に働く力と、その作用点の深さを、導出過程を明記して求めなさい。
２）平板が、頂点が深さ $h_t$ に位置し、幅 $b$ の底辺が深さ $h_b$ に位置する、二等辺三角形の場合、平板に働く力と、その作用点の深さを、導出過程を明記して求めなさい。

［２］　円管を流れる空気の流速、流量を、ピトー管で測ります。
流れは定常、非圧縮であり、空気の密度は $\rho$、円管の直径は $d$、重力加速度は $g$ です。ピトー管の動圧孔と静圧孔の円管軸方向位置は、同じです。動圧孔と静圧孔をつなぐU字管には、密度 ${\rho }_m$ の水が封入されており、U字管両側における、水と空気の界面の変位差は $h$ です。空気による位置ヘッド差は、水による位置ヘッド差に対して無視できるとし、また、流速および圧力は、円管断面にわたり一定とみなせるとします。指定されている以外の記号が必要な場合は、適宜、定義しなさい。
１）変位差 $h$ を用いて、円管を通過する空気の流速 $u$ を表しなさい。
２）変位差 $h$ を用いて、円管を通過する空気の体積流量 $Q$ を表しなさい。
３）$d$ を $0.2\text{ m}$、$h$ を $0.01\text{ m}$、$g$ を $9.8{\text{ m/s}}^2$ として、円管を通過する空気の体積流量の、およその数値を見積もりなさい。

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解答：

［１］
１）
深さ $z$ における圧力は $P=\rho gz$ である。微小面積 $\mathrm{d}A=b\mathrm{d}z$ に働く微小な力 $\mathrm{d}F=P\mathrm{d}A$ を積分して全圧力 $F$ を求める。

$$F={\int }_{h_t}^{h_b}\rho gzb\mathrm{d}z=\rho gb{\left[\frac{z^2}{2}\right]}_{h_t}^{h_b}=\frac{1}{2}\rho gb(h_b^2-h_t^2)$$

圧力中心の深さ $z_c$ は、力のモーメントの釣り合いより導出される。

$$z_c=\frac{1}{F}{\int }_{h_t}^{h_b}zP\mathrm{d}A=\frac{1}{F}{\int }_{h_t}^{h_b}\rho gb{z}^2\mathrm{d}z=\frac{\rho gb{\left[\frac{z^3}{3}\right]}_{h_t}^{h_b}}{\frac{1}{2}\rho gb(h_b^2-h_t^2)}=\frac{2(h_b^3-h_t^3)}{3(h_b^2-h_t^2)}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}F& =\frac{1}{2}\rho gb(h_b^2-h_t^2)\\ z_c& =\frac{2(h_b^3-h_t^3)}{3(h_b^2-h_t^2)}\end{array}}$$

２）
深さ $z$ における平板の幅を $w(z)$ とすると、相似比より $w(z)=\frac{b}{h_b-h_t}(z-h_t)$ である。
全圧力 $F$ は次式となる。

$$F={\int }_{h_t}^{h_b}\rho gz\cdot \frac{b}{h_b-h_t}(z-h_t)\mathrm{d}z=\frac{\rho gb}{h_b-h_t}{\left[\frac{z^3}{3}-h_t\frac{z^2}{2}\right]}_{h_t}^{h_b}$$ $$F=\frac{\rho gb}{h_b-h_t}\left(\frac{2h_b^3-3h_t{h}_b^2+h_t^3}{6}\right)=\frac{1}{6}\rho gb(h_b-h_t)(2h_b+h_t)$$

圧力中心 $z_c$ は次式となる。

$$z_c=\frac{1}{F}{\int }_{h_t}^{h_b}\rho g{z}^2\cdot \frac{b}{h_b-h_t}(z-h_t)\mathrm{d}z=\frac{1}{F}\frac{\rho gb}{h_b-h_t}{\left[\frac{z^4}{4}-h_t\frac{z^3}{3}\right]}_{h_t}^{h_b}$$ $$z_c=\frac{1}{F}\frac{\rho gb}{h_b-h_t}\frac{3h_b^4-4h_t{h}_b^3+h_t^4}{12}=\frac{1}{F}\frac{\rho gb(h_b-h_t{)}^2(3h_b^2+2h_t{h}_b+h_t^2)}{12}$$

$F$ を代入して整理すると、

$$z_c=\frac{3h_b^2+2h_t{h}_b+h_t^2}{2(2h_b+h_t)}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}F& =\frac{1}{6}\rho gb(h_b-h_t)(2h_b+h_t)\\ z_c& =\frac{3h_b^2+2h_t{h}_b+h_t^2}{2(2h_b+h_t)}\end{array}}$$

［２］
１）
ピトー管の動圧孔におけるよどみ点圧力を $P_0$、静圧を $P$ とする。ベルヌーイの定理より：

$$P_0-P=\frac{1}{2}\rho u^2$$

マノメータの釣り合いと空気の密度を無視する条件より：

$$P_0-P={\rho }_{m}gh$$

両式から圧力を消去して $u$ について解く。

$$\boxed{u=\sqrt{\frac{2{\rho }_{m}gh}{\rho }}}$$

２）
円管の断面積は $A=\frac{\pi d^2}{4}$ であるから、体積流量 $Q=Au$ は次のようになる。

$$\boxed{Q=\frac{\pi d^2}{4}\sqrt{\frac{2{\rho }_{m}gh}{\rho }}}$$

３）
標準的な空気と水の密度を、それぞれ $\rho \approx 1.2{\text{ kg/m}}^3$、${\rho }_m=1000{\text{ kg/m}}^3$ と仮定する。与えられた数値を ２）の式に代入する。

$$u=\sqrt{\frac{2\times 1000\times 9.8\times 0.01}{1.2}}=\sqrt{\frac{196}{1.2}}\approx 12.78\text{ m/s}$$ $$Q=\frac{\pi \times (0.2{)}^2}{4}\times 12.78\approx 0.0314\times 12.78\approx 0.40{\text{ m}}^3\text{/s}$$ $$\boxed{Q\approx 0.40{\text{ m}}^3\text{/s}}$$

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题目主要考察了流体力学中的静水压强计算以及皮托管测速的应用。

第一题要求推导平板受到的静水总压力和压力中心的位置。可以通过在深度方向上对微元面积受到的压强进行积分来计算总压力，而压力中心的深度则是利用面积矩（静力矩）与总力矩相等的原理计算得出。对于矩形和三角形等规则形状，也可以利用形心深度、面积和形心主惯性矩的现成公式快速检验结果的正确性。

第二题考察伯努利方程和U型管流体静力学方程的结合。皮托管前端为驻点（动压孔），侧面为静压孔，其压差转化为U型管内的液面高度差。在推导过程中，利用“忽略空气造成的位置水头差”这一条件，可直接令动静压差等于U型管内水柱产生的压强差。在第三小问中，由于题目未给出空气和水的具体密度值，需要假定常温下的标准密度（水为 1000 kg/m³，空气约为 1.2 kg/m³ 或 1.225 kg/m³）以进行合理的数值估算。