0236-2006 名情复 机械 P51

力学 常微分方程

燃料を含めた総質量 $M$ のロケットを考える。時刻 $t=0$ において，それまで静止していたロケットが燃料を単位時間当たり質量 $\mu$，相対速度 $V$ で下向きに噴射することで鉛直に上り始めた。このロケットの運動について以下の問いに答えよ。
ただし，このロケットが運動する範囲では重力加速度 $g$ は一定であり，速度は上向きを正とする。

[1] 時刻 $t$ におけるロケットの速度を $v$，質量を $m$ とする。微小時間 $\Delta t$ 後に，速度が $v+\Delta v$ になったとすると，これは質量 $m-\mu \Delta t$，速度 $v+\Delta v$ のロケットと，質量 $\mu \Delta t$，速度 $v-V$ の燃料の二つの物体の運動であると考えることができる。このとき，総運動量の変化が $-mg\Delta t$ であることを用いて速度 $v$ に関する微分方程式（ロケットの運動方程式）を導け。その際，微小量の二次の項は無視せよ。

[2] $m=M-\mu t$ であることから [1] の微分方程式を解き，時刻 $t$ における速度 $v$ を求めよ。

[3] 打ち上げから時間 $T$ だけ経過した時に燃料がなくなった。この瞬間のロケットの高さを求めよ。

[4] このロケットの最高到達点の高さを求めよ。

---

解答：

[1]

$$\text{時刻 }t\text{ における総運動量：}p(t)=mv$$ $$\text{時刻 }t+\Delta t\text{ における総運動量：}p(t+\Delta t)=(m-\mu \Delta t)(v+\Delta v)+(\mu \Delta t)(v-V)$$ $$\text{総運動量の変化 }\Delta p=p(t+\Delta t)-p(t)\text{ を計算する。}$$ $$\Delta p=mv+m\Delta v-\mu v\Delta t-\mu \Delta v\Delta t+\mu v\Delta t-\mu V\Delta t-mv$$ $$\Delta p=m\Delta v-\mu V\Delta t-\mu \Delta v\Delta t$$ $$\text{微小量の二次の項 }\mu \Delta v\Delta t\text{ を無視すると，}$$ $$\Delta p=m\Delta v-\mu V\Delta t$$ $$\text{題意より，}\Delta p=-mg\Delta t\text{ であるから，}$$ $$m\Delta v-\mu V\Delta t=-mg\Delta t$$ $$\text{両辺を }\Delta t\text{ で割り，}\Delta t\to 0\text{ の極限をとると，}$$ $$\boxed{m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\mu V-mg}$$

[2]

$$\text{与えられた }m=M-\mu t\text{ を [1] の方程式に代入する。}$$ $$(M-\mu t)\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\mu V-(M-\mu t)g$$ $$\mathrm{d}v=\left(\frac{\mu V}{M-\mu t}-g\right)\mathrm{d}t$$ $$\text{初期条件 }v(0)=0\text{ を用いて積分する。}$$ $$v(t)={\int }_0^t\left(\frac{\mu V}{M-\mu \tau }-g\right)\mathrm{d}\tau$$ $$v(t)={\left[-V\ln (M-\mu \tau )-g\tau \right]}_0^t$$ $$v(t)=-V\ln (M-\mu t)-gt-(-V\ln M)$$ $$\boxed{v(t)=V\ln \left(\frac{M}{M-\mu t}\right)-gt}$$

[3]

$$\text{時刻 }T\text{ におけるロケットの高さ }y(T)\text{ は，}v(t)\text{ を }0\text{ から }T\text{ まで積分して得られる。}$$ $$y(T)={\int }_0^{T}v(t)\mathrm{d}t={\int }_0^T\left(V\ln M-V\ln (M-\mu t)-gt\right)\mathrm{d}t$$ $$\int \ln (M-\mu t)\mathrm{d}t=-\frac{M-\mu t}{\mu }\ln (M-\mu t)-t\text{ を用いる。}$$ $$y(T)={\left[Vt\ln M+\frac{V(M-\mu t)}{\mu }\ln (M-\mu t)+Vt-\frac{1}{2}g{t}^2\right]}_0^T$$ $$y(T)=VT\ln M+\frac{V(M-\mu T)}{\mu }\ln (M-\mu T)+VT-\frac{1}{2}g{T}^2-\frac{VM}{\mu }\ln M$$ $$\text{項をまとめると，}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}y(T)& =VT-\frac{1}{2}g{T}^2-\frac{V(M-\mu T)}{\mu }\ln M+\frac{V(M-\mu T)}{\mu }\ln (M-\mu T)\\ & =VT-\frac{1}{2}g{T}^2-\frac{V(M-\mu T)}{\mu }\ln \left(\frac{M}{M-\mu T}\right)\end{array}}$$

[4]

$$\text{燃料が尽きた時刻 }T\text{ における速度を }{v}_T=V\ln \left(\frac{M}{M-\mu T}\right)-gT\text{ とする。}$$

時刻 $T$ 以降，ロケットは重力のみを受け，初速$v_T$ ，加速度 $-g$の鉛直投げ上げ運動を行う。

$$\text{最高点に達するまでの変位を }\Delta y\text{ とすると，等加速度運動の公式 }{0}^2-v_T^2=-2g\Delta y\text{ より，}$$ $$\Delta y=\frac{v_T^2}{2g}$$ $$\text{最高到達点の高さ }H\text{ は，}y(T)\text{ と }\Delta y\text{ の和である。}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}H& =y(T)+\Delta y\\ & =VT-\frac{1}{2}g{T}^2-\frac{V(M-\mu T)}{\mu }\ln \left(\frac{M}{M-\mu T}\right)+\frac{1}{2g}{\left(V\ln \left(\frac{M}{M-\mu T}\right)-gT\right)}^2\end{array}}$$

---

题目考察了变质量系统的经典力学问题即齐奥尔科夫斯基火箭方程的推导与求解。第一问通过在极短时间内对火箭本体与喷出燃料组成的系统使用动量定理列出方程，注意舍去二阶微小量即可化简得到一阶常微分方程。第二问将其视作可分离变量的微分方程，代入质量随时间变化的表达式后直接进行定积分即可求出速度随时间的变化关系。第三问对速度函数再次关于时间积分求位移，计算中涉及对数函数的积分，可以利用分部积分法或直接套用常见积分公式完成推导，并在代入上下限后进行适当的代数变形以简化结果。第四问考察了燃料耗尽后的运动学过程，此时火箭仅受重力作用做竖直上抛运动，利用运动学公式或机械能守恒计算出剩余动能转化出的额外爬升高度，再与之前求得的燃料耗尽时的高度相加即可得到最终的最高点高度。