0235-2006 名情复 数学 P50

线性代数 矩阵对角化 特征值与特征向量 矩阵指数

次の設問に答えよ。

[1] 次の行列 $A$ について，次の設問に答えよ。

$$A=\left[\begin{array}{cc}a+1& 8\\ 2& a+1\end{array}\right]$$

a) 行列 $A$ が対角化可能である場合の変数 $a$ のとるべき条件を求めよ。

b) 行列が対角化可能である場合，2つの固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ と固有ベクトル ${\mathbf{\Phi }}_1=\left\{\begin{array}{c}{\Phi }_{11}\\ {\Phi }_{12}\end{array}\right\},{\mathbf{\Phi }}_2=\left\{\begin{array}{c}{\Phi }_{21}\\ {\Phi }_{22}\end{array}\right\}$ を求めよ。

[2] 一般に，行列 $A$ が対角化可能であるとき，指数行列 $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$ を行列 $A$ の固有値を対角要素とする対角行列 $\Lambda$ と固有ベクトルを列とする行列 $\mathbf{\Phi }$ を用いて，次式で与えられることを証明せよ。ただし，$e$ は自然対数の底，$I$ は単位行列を示す。

$$e^A=\mathbf{\Phi }{e}^{\Lambda }{\mathbf{\Phi }}^{-1}$$

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解答：

[1] a)
固有多項式は

$$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}a+1-\lambda & 8\\ 2& a+1-\lambda \end{array}\right|=(a+1-\lambda {)}^2-16=0$$ $$\lambda =a+1\pm 4$$

固有値は ${\lambda }_1=a-3,{\lambda }_2=a+5$ となる。
変数 $a$ の値によらず相異なる2つの固有値を持つため，常に対角化可能である。

$$\boxed{a\text{ は任意の数}}$$

b)
固有値が ${\lambda }_1=a-3$ のとき，

$$(A-{\lambda }_{1}I){\mathbf{\Phi }}_1=\left[\begin{array}{cc}4& 8\\ 2& 4\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\Phi }_{11}\\ {\Phi }_{12}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}⟹{\Phi }_{11}+2{\Phi }_{12}=0$$

固有値が ${\lambda }_2=a+5$ のとき，

$$(A-{\lambda }_{2}I){\mathbf{\Phi }}_2=\left[\begin{array}{cc}-4& 8\\ 2& -4\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\Phi }_{21}\\ {\Phi }_{22}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}⟹-{\Phi }_{21}+2{\Phi }_{22}=0$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& {\lambda }_1=a-3,{\mathbf{\Phi }}_1=C_1\left\{\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right\}(C_1\ne 0)\\ & {\lambda }_2=a+5,{\mathbf{\Phi }}_2=C_2\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}(C_2\ne 0)\end{array}}$$

[2]
行列 $A$ が対角化可能であるから，

$$A=\mathbf{\Phi }\Lambda {\mathbf{\Phi }}^{-1}$$

と表される。このとき $A^k$ は次のように計算できる。

$$A^k=(\mathbf{\Phi }\Lambda {\mathbf{\Phi }}^{-1}{)}^k=\mathbf{\Phi }{\Lambda }^k{\mathbf{\Phi }}^{-1}$$

これを指数行列の定義式に代入する。

$$\begin{array}{rl}{e}^A& =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{A}^k=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}(\mathbf{\Phi }{\Lambda }^k{\mathbf{\Phi }}^{-1})\\ & =\mathbf{\Phi }\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\Lambda }^k\right){\mathbf{\Phi }}^{-1}\end{array}$$

対角行列の性質より，

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\Lambda }^k=e^{\Lambda }$$

したがって，次式が成立する。

$$e^A=\mathbf{\Phi }{e}^{\Lambda }{\mathbf{\Phi }}^{-1}$$

(証明終)

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第一题考察了判断矩阵可对角化的条件以及求解特征值和特征向量。通过计算特征多项式可以发现无论参数为何值该二阶矩阵始终具有两个不相等的特征值，因此必定可以对角化。求解特征向量时将求得的特征值分别代入特征方程求解基础解系即可，给出的特征向量中通常包含任意非零常数。第二题考察了矩阵指数的展开式及其与对角化分解之间的关系。利用对角化的形式可以将原矩阵的幂转换为相似变换矩阵与对角矩阵的幂的乘积，从而极大地化简了泰勒级数的求和过程得出最终结论。