0234-2006 名情复 数学 P49

常微分方程 微分积分 求极值 微分方程降阶 有理函数积分

次の設問に答えよ。

[1] 関数 $y(x)$ が次式で与えられるとき，$y(x)$ が最小となるときの $x$ の値と $y$ の値を求めよ。ただし，$x>0$ とする。

$$y(x)=\frac{x^2+4x+5}{x}$$

[2] 次の微分方程式を解いて，関数 $y(x)$ を積分定数を含む形で求めよ。

$$\frac{x^2+4x+5}{x}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{x^2-5}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$$

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解答：

[1]

$$y(x)=x+4+\frac{5}{x}$$ $$y^{\prime }(x)=1-\frac{5}{x^2}$$ $$y^{\prime }(x)=0⟹x^2=5$$ $$x>0⟹x=\sqrt{5}$$ $$y^{\prime \prime }(\sqrt{5})=\frac{10}{5\sqrt{5}}>0$$ $$\boxed{x=\sqrt{5},y=4+2\sqrt{5}}$$

[2]

$$p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$ $$\frac{x^2+4x+5}{x}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}+\frac{x^2-5}{x^2}p=0$$ $$\frac{1}{p}\mathrm{d}p=\frac{5-x^2}{x(x^2+4x+5)}\mathrm{d}x$$ $$\frac{5-x^2}{x(x^2+4x+5)}=\frac{1}{x}-\frac{2x+4}{x^2+4x+5}$$ $$\int \frac{1}{p}\mathrm{d}p=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\right)\mathrm{d}x$$ $$\ln |p|=\ln |x|-\ln (x^2+4x+5)+C_0$$ $$p=\frac{C_{1}x}{x^2+4x+5}$$ $$y(x)=\int \frac{C_{1}x}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x+C_2$$ $$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}\int \frac{2x+4}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x-2\int \frac{1}{(x+2{)}^2+1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}\ln (x^2+4x+5)-2\arctan (x+2)\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{r}y(x)=\frac{C_1}{2}\ln (x^2+4x+5)-2C_1\arctan (x+2)+C_2\\ (C_1,C_2\text{ は積分定数})\end{array}}$$

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题目考察了一元函数的极值求解以及二阶常微分方程的求解。第一小题直接利用导数求驻点，再结合二阶导数判断其为极小值点，由于定义域限制也可以直接使用基本不等式得出结果。第二小题属于缺因变量的二阶微分方程，通过引入中间变量进行降阶，将其转化为一阶可分离变量微分方程，求解过程中需要将右侧的有理函数进行部分分式分解以完成积分计算，最后再通过配方法和基础积分公式求得原函数。