0233-2005 名情复 机械 P47

控制学 古典控制 拉普拉斯变换 波特图

［１］下の表１に示すように，形式Aのブロック線図は，形式Bのように変換することができる．数式を用いて，このことを証明せよ．

［２］次の制御系がある．以下の問に答えよ．

1. 上のブロック線図を表1の形式Bに変換したときの伝達関数を求めよ．
2. インパルス入力とステップ入力の場合の過渡応答を求めよ．
3. 過渡応答の区間を過ぎて十分時間が経過したときの値を定常偏差という．上の2)の定常偏差を，インパルス入力とステップ入力の場合について求めよ．
4. 問題の制御系のボード線図を描きたい．そのためのゲイン特性を表す式を導け．
   

（参考）ラプラス変換表

時間関数	ラプラス変換された関数	時間関数	ラプラス変換された関数
デルタ関数 $\delta (t)$	$1$	$t{e}^{-at}$	$1/(s+a{)}^2$
ステップ関数 $u(t)$	$1/s$	$\sin \omega t$	$\omega /(s^2+{\omega }^2)$
$t$	$1/s^2$	$\cos \omega t$	$s/(s^2+{\omega }^2)$
$(1/2)t^2$	$1/s^3$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\omega /\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$e^{-at}$	$1/(s+a)$	$e^{-at}\cos \omega t$	$(s+a)/\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$df/dt$	$sF(s)-f(0)$	$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s}$
$d^{2}f/d{t}^2$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

注）$f$ に付した「‘」と「(-1)」は，それぞれ一階微分と積分を表す。

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解答：

［１］
形式Aのブロック線図より，以下の関係式が成り立つ．

$$\begin{array}{rl}e& =a-b\\ c& =Ge\\ b& =Hc\end{array}$$

これらを連立して $e,b$ を消去する．

$$\begin{array}{rl}c& =G(a-Hc)\\ c+GHc& =Ga\\ (1+GH)c& =Ga\\ \frac{c}{a}& =\frac{G}{1+GH}\end{array}$$

これにより出力と入力の比が形式Bの伝達関数に一致することが示された．(証明終)

［２］
1)
前向き伝達関数 $G(s)=10$，フィードバック伝達関数 $H(s)=\frac{1}{10}(s^2+2s+9)$ を形式Bに代入し，伝達関数 $T(s)$ を求める．

$$T(s)=\frac{10}{1+10\cdot \frac{1}{10}(s^2+2s+9)}=\frac{10}{s^2+2s+10}$$ $$\boxed{T(s)=\frac{10}{s^2+2s+10}}$$

インパルス入力 $R(s)=1$ の場合，出力 $C(s)$ は

$$C(s)=T(s)R(s)=\frac{10}{s^2+2s+10}=\frac{10}{(s+1{)}^2+3^2}$$

これをラプラス逆変換して過渡応答 $c(t)$ を得る．

$$\boxed{c(t)=\frac{10}{3}{e}^{-t}\sin 3t}$$

ステップ入力 $R(s)=\frac{1}{s}$ の場合，出力 $C(s)$ は部分分数分解を用いて以下のように変形できる．

$$\begin{array}{rl}C(s)& =\frac{10}{s(s^2+2s+10)}\\ & =\frac{1}{s}-\frac{s+2}{s^2+2s+10}\\ & =\frac{1}{s}-\frac{s+1}{(s+1{)}^2+3^2}-\frac{1}{3}\frac{3}{(s+1{)}^2+3^2}\end{array}$$

これをラプラス逆変換して過渡応答 $c(t)$ を得る．

$$\boxed{c(t)=1-e^{-t}\cos 3t-\frac{1}{3}{e}^{-t}\sin 3t}$$

定常偏差 $e_{ss}$ を目標値となる入力 $r(t)$ と出力 $c(t)$ の差の極限 $e_{ss}=\underset{t\to \infty }{\lim }\{r(t)-c(t)\}$ とする．最終値の定理より $e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s(R(s)-C(s))$ となる．
インパルス入力の場合：

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\left(1-\frac{10}{s^2+2s+10}\right)=0$$

ステップ入力の場合：

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\left(\frac{1}{s}-\frac{10}{s(s^2+2s+10)}\right)=1-1=0$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}\text{インパルス入力： }& 0\\ \text{ステップ入力： }& 0\end{array}}$$

閉ループ系の周波数伝達関数 $T(j\omega )$ は $s=j\omega$ を代入して得られる．

$$T(j\omega )=\frac{10}{(j\omega {)}^2+2j\omega +10}=\frac{10}{(10-{\omega }^2)+j2\omega }$$

ゲイン特性 $g(\omega )$ [dB] は振幅の常用対数に20を乗じて計算する．

$$\begin{array}{rl}g(\omega )& =20{\log }_{10}|T(j\omega )|\\ & =20{\log }_{10}\frac{10}{\sqrt{(10-{\omega }^2{)}^2+(2\omega {)}^2}}\\ & =20{\log }_{10}\frac{10}{\sqrt{{\omega }^4-20{\omega }^2+100+4{\omega }^2}}\\ & =20-10{\log }_{10}({\omega }^4-16{\omega }^2+100)\end{array}$$ $$\boxed{g(\omega )=20-10{\log }_{10}({\omega }^4-16{\omega }^2+100)}$$

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这道题考查了控制工程中的基本代数运算与瞬态响应分析。第一问通过建立节点代数方程可以直接推导出负反馈闭环传递函数的标准公式。第二问要求代入给定的前向增益和反馈函数得到闭环系统传递函数。在此基础上通过拉普拉斯逆变换求解冲激和阶跃输入下的时间域表达式，计算中需要先将分母配方为衰减正弦和余弦对应的平方和形式，然后再进行部分分式展开。第三问考查定常偏差的概念，通常将其定义为目标输入与实际输出之间的差值的终态极限。由于该闭环系统在零频率处的直流增益恰好为一，使得系统能够完全无静差地跟踪阶跃指令，因此无论是冲激还是阶跃的偏差极限最终均收敛于零。第四问通过用虚数频率替换复变量拉普拉斯算子获得频率响应函数，整理实部和虚部后取模的对数即可推导出幅频特性的解析表达式。