0232-2005 名情复 机械 P46

流体力学 连续性方程 流函数 流线

$x-y$ 平面内の二次元非圧縮流れに関する，以下の問いに答えなさい．

(1) 直交座標系における微小検査面を設定して，連続の方程式を導出しなさい．
(2) 連続の方程式によれば，流れ関数$\psi$を導入できることを示しなさい．
(3) $\psi =$一定の線は流線に相当することを示しなさい．

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解答：

(1)
微小検査面として、$x$方向の長さを$dx$、$y$方向の長さを$dy$の微小矩形領域を考える。流体の密度を$\rho$（一定）、速度ベクトルを$\mathbf{V}=(u,v)$とする。
$x$方向の正味の質量流入量は、

$$\rho udy-\rho \left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)dy=-\rho \frac{\partial u}{\partial x}dxdy$$

$y$方向の正味の質量流入量は、

$$\rho vdx-\rho \left(v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)dx=-\rho \frac{\partial v}{\partial y}dxdy$$

定常流れにおいて、検査面内の質量変化はゼロであるため、総流入量はゼロとなる。

$$-\rho \frac{\partial u}{\partial x}dxdy-\rho \frac{\partial v}{\partial y}dxdy=0$$

両辺を$-\rho dxdy$で割ることで、連続の方程式を得る。

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

(証明終)

(2)
(1)より、

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

ここで、スカラー関数$\psi (x,y)$に対し、速度成分が以下のように表されると仮定する。

$$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$$

これらを連続の方程式に代入すると、

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y\partial x}=0$$

これは恒等的に成り立つ。したがって、連続の方程式を満たす関数$\psi$（流れ関数）を導入できる。
(証明終)

(3)
$\psi (x,y)=C$ ($C$は定数) の全微分を考える。

$$d\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=0$$

$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$ を代入すると、

$$-vdx+udy=0$$

これを変形すると、

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$$

この式は流線の微分方程式である。したがって、$\psi =$一定の線は流線に相当する。
(証明終)

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这道题考察了流体力学中二维不可压缩流场的基本概念及其数学描述。第一问要求推导连续性方程，通过在直角坐标系下建立一个微小的二维矩形控制体，利用质量守恒原理计算沿x和y方向流入和流出的质量差，由于流体不可压缩且为定常流动，净质量流量为零，化简后即可得出连续性方程。第二问基于推导出的连续性方程，利用偏导数可交换求导顺序的性质，说明如果定义速度场为某个二元函数偏导数的形式，连续性方程将自动满足，从而证明了引入流函数的合理性。第三问探讨流函数的物理意义，通过令流函数恒定并求其全微分，再将速度分量替换进去，直接导出了流线的微分定义式，这从数学上严格证明了流场中等流函数值构成的曲线就是流线，直观地反映了流体质点的运动轨迹。