0231-2005 名情复 机械 P45

材料力学 应力与应变 等强度杆

図のように下端は完全に固定され，先端に質量$m$の物体を支える密度$\rho$，長さ$L$の棒を考える。ここで，下端からの距離$x$における断面積，応力，ひずみ，上向き変位を$A(x),\sigma (x),\epsilon (x),u(x)$とし，重力加速度を$g$とする。
［１］　棒の断面積が一定値$A(x)=A_0$である場合について次の問いに答えよ。
１）応力$\sigma (x)$を求めよ。ただし，断面内で応力は一様とする。
２）フックの法則に従うと仮定して，ひずみ$\epsilon (x)$を求めよ。ただし，ヤング率を$E$（定数）とする。
３）変位$u(x)$を求めよ。
［２］　次の問いに従って応力が一定値$\sigma (x)={\sigma }_0$となる平等強さの棒の断面積$A(x)$を求めよ。
１）一般に棒の断面積$A(x)$が与えられたときの応力$\sigma (x)$を求めよ。
２）応力が一定値$\sigma (x)={\sigma }_0$である場合に成立する$A(x)$に関する微分方程式を求めよ。
３）２）を解いて平等強さの棒の断面積$A(x)$を求めよ。

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解答：

（引張を正とする）

［１］
１）
任意断面$x$にかかる軸力は$x$より上部にある質量の受ける重力の和となるため、

$$\boxed{\sigma (x)=-\frac{mg}{A_0}-\rho g(L-x)}$$

２）

$$\boxed{\epsilon (x)=-\frac{g}{E}\left(\frac{m}{A_0}+\rho (L-x)\right)}$$

３）

$$\begin{array}{rl}u(x)& ={\int }_0^x\epsilon (\xi )d\xi \\ & ={\int }_0^x-\frac{g}{E}\left(\frac{m}{A_0}+\rho (L-\xi )\right)d\xi \\ & =\boxed{-\frac{g}{E}\left(\frac{m}{A_0}x+\rho Lx-\frac{1}{2}\rho x^2\right)}\end{array}$$

［２］
１）
任意断面$x$より上部の質量による重力を考慮して、

$$\boxed{\sigma (x)=-\frac{mg+{\int }_x^L\rho gA(\xi )d\xi }{A(x)}}$$

２）
$\sigma (x)={\sigma }_0$より、

$$A(x){\sigma }_0=-mg-{\int }_x^L\rho gA(\xi )d\xi$$

両辺を$x$で微分すると、

$$\boxed{\frac{dA(x)}{dx}=\frac{\rho g}{{\sigma }_0}A(x)}$$

３）
微分方程式を変数分離で解くと、

$$A(x)=C{e}^{\frac{\rho g}{{\sigma }_0}x}$$

$x=L$における境界条件は$A(L){\sigma }_0=-mg$であるから、

$$\begin{array}{rl}C{e}^{\frac{\rho g}{{\sigma }_0}L}& =-\frac{mg}{{\sigma }_0}\\ C& =-\frac{mg}{{\sigma }_0}{e}^{-\frac{\rho g}{{\sigma }_0}L}\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{A(x)=-\frac{mg}{{\sigma }_0}{e}^{\frac{\rho g}{{\sigma }_0}(x-L)}}$$

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本题考查了材料力学中考虑自重情况下的杆件变形问题以及等强度杆的截面积函数求解。在整个解答过程中遵循了标准的符号规定即将拉应力拉应变以及向上的位移取为正方向，由于系统受到向下的重力和顶端质量作用，杆件实际上处于全段受压状态，因此得到的应力应变以及位移表达式均为负值。在第二部分求解等强度杆时，通过将给定的积分形式的应力等式两边对坐标进行求导，巧妙地将其转化为了容易求解的一阶常系数齐次线性微分方程，代入顶端的受力边界条件后即可确定出截面积随坐标呈指数变化的规律，且公式中的恒定应力值隐式地为负值以保证面积计算结果为正。