0229-2005 名情复 机械 P26

力学 中心力场 角动量守恒 有效势能

中心力ポテンシャル$U(r)$のもとで運動する$3$次元空間の粒子（質点）を考える。粒子の質量を$m$とし、位置ベクトルを$\vec{r}=(x,y,z)$、$r=|\vec{r}|$、運動量を$\vec{p}$とする。

［１］ このポテンシャルによって粒子が受ける力$\vec{F}=-\vec{\nabla }U=-gradU$が、$\vec{F}=-\frac{dU(r)}{dr}\frac{\vec{r}}{r}$と書けることを示せ。

［２］ この粒子の運動について、角運動量ベクトル$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$の時間微分を計算し、$\vec{L}$が保存していることを示せ。このことより、粒子の運動が定ベクトル$\vec{L}$に直交する平面内に限られることを示せ。

［３］ この平面内での運動を考え、粒子の位置ベクトルを$\vec{r}=(x,y)$（デカルト座標表示）または、$(r,\theta )$（極座標表示）と書く。その間の変換は$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$で与えられる。運動エネルギー及び、保存している角運動量の大きさ$|\vec{L}|=L$を、極座標表示で求めよ。

［４］ この系の全エネルギー$E$を書き下せ。また、全エネルギーが保存することを、$E$の時間微分を計算することにより示せ。

［５］ 保存する角運動量の大きさを$L$として、これを使って全エネルギー$E$を動径方向の成分$r,\dot{r}$だけで書き下し、運動エネルギーとそれ以外の$r$だけに依存する項（”有効ポテンシャル”という）$U_{eff}(r)$とに分けて書け。

［６］ $U(r)=-\frac{k}{r},(k>0)$として、有効ポテンシャル$U_{eff}(r)$の概略を図示し、運動エネルギーは正でなければならないことより、$E$の値によって粒子はどのような運動をするか説明せよ。

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解答：

［１］
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ より $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}$。合成関数の微分により、

$$\begin{array}{rl}\vec{\nabla }U(r)& =\left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right)\\ & =\left(\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial x},\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y},\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial z}\right)\\ & =\frac{dU}{dr}\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)\\ & =\frac{dU}{dr}\frac{\vec{r}}{r}\end{array}$$

したがって、

$$\vec{F}=-\vec{\nabla }U=-\frac{dU}{dr}\frac{\vec{r}}{r}$$

(証明終)

［２］
角運動量の定義より、

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p})=\dot{\vec{r}}\times \vec{p}+\vec{r}\times \dot{\vec{p}}$$

ここで、$\dot{\vec{r}}=\frac{\vec{p}}{m}$ であり $\dot{\vec{r}}$ と $\vec{p}$ は平行であるため、$\dot{\vec{r}}\times \vec{p}=\vec{0}$。
また、運動方程式 $\dot{\vec{p}}=\vec{F}=-\frac{dU}{dr}\frac{\vec{r}}{r}$ より $\vec{r}$ と $\dot{\vec{p}}$ は平行であるため、$\vec{r}\times \dot{\vec{p}}=\vec{0}$。
よって、

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}$$

となり、$\vec{L}$ は時間に対して一定（保存量）である。
さらに、$\vec{L}$ の定義より、

$$\vec{L}\cdot \vec{r}=(\vec{r}\times \vec{p})\cdot \vec{r}=0$$

これは位置ベクトル $\vec{r}$ が常に定ベクトル $\vec{L}$ と直交することを意味し、粒子の軌道が $\vec{L}$ に垂直な平面内に限定されることを示している。
(証明終)

［３］
$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を時間で微分すると、

$$\dot{x}=\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta ,\dot{y}=\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta$$

速さの2乗は $v^2={\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$。角運動量ベクトルは平面に垂直な成分のみを持ち、その大きさは $L=|x{p}_y-y{p}_x|$。

$$\begin{array}{rl}x{p}_y-y{p}_x& =m(r\cos \theta (\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta )-r\sin \theta (\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta ))\\ & =m{r}^2\dot{\theta }\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}K& =\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)\\ L& =m{r}^2|\dot{\theta }|\end{array}}$$

［４］
全エネルギー $E$ は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である。

$$\boxed{E=\frac{1}{2}m{\dot{\vec{r}}}^2+U(r)}$$

時間微分を計算すると、

$$\begin{array}{rl}\frac{dE}{dt}& =\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}\cdot \dot{\vec{r}}+U(r)\right)\\ & =m\dot{\vec{r}}\cdot \ddot{\vec{r}}+\vec{\nabla }U\cdot \dot{\vec{r}}\\ & =\dot{\vec{r}}\cdot (m\ddot{\vec{r}}+\vec{\nabla }U)\end{array}$$

運動方程式 $m\ddot{\vec{r}}=\vec{F}=-\vec{\nabla }U$ より $m\ddot{\vec{r}}+\vec{\nabla }U=\vec{0}$ であるため、

$$\frac{dE}{dt}=0$$

となり、全エネルギーは保存する。
(証明終)

［５］
$L=m{r}^2|\dot{\theta }|$ より ${\dot{\theta }}^2=\frac{L^2}{m^2{r}^4}$。これをエネルギーの式に代入する。

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2\left(\frac{L^2}{m^2{r}^4}\right)+U(r)\\ & =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+U(r)\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+U_{eff}(r)\\ U_{eff}(r)& =\frac{L^2}{2m{r}^2}+U(r)\end{array}}$$

［６］
$U_{eff}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{k}{r}$ について、$r\to +0$ で $U_{eff}\to +\infty$、$r\to \infty$ で $U_{eff}\to 0$。
極値を求めると $\frac{d{U}_{eff}}{dr}=-\frac{L^2}{m{r}^3}+\frac{k}{r^2}=0$ より $r=\frac{L^2}{mk}$ で最小値 $U_{min}=-\frac{m{k}^2}{2L^2}$ をとる。（概略図はこれらの特徴を持つ曲線となる）
$\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2\ge 0$ より常に $E\ge U_{eff}(r)$ が成り立つ。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& 1.E>0\text{ のとき： }{U}_{eff}(r)\le E\text{ となる区間は }{r}_{min}\le r<\infty 。\\ & \text{遠方から接近し再び遠ざかる双曲線軌道となる。}\\ & 2.E=0\text{ のとき： 上と同様に }{r}_{min}\le r<\infty \text{。放物線軌道となる。}\\ & 3.U_{min}\le E<0\text{ のとき： }r\text{ は }{r}_1\le r\le r_2\text{ の有限区間に制限される。}\\ & text束縛された楕円軌道となる。\\ & 4.E=U_{min}\text{ のとき： }r=\frac{L^2}{mk}\text{ で一定となり、円軌道となる。}\end{array}}$$

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这道题考察了经典力学中中心力场的基本性质和轨道分析。从势能梯度的极坐标展开推导出有心力的形式，进而通过叉乘的性质证明角动量在中心力场中是一个守恒量，这导致了粒子的运动被限制在一个二维平面内。利用极坐标系表达动能，并引入有效势能的概念，将原本的二维平面运动转化为一维径向的等效运动方程。最后利用有效势能曲线和能量守恒定律，直观地根据系统总能量的符号及大小关系对粒子可能的运动轨迹进行了分类，涵盖了束缚态的椭圆或圆轨道以及非束缚态的抛物线或双曲线轨道，这是处理天体运行和微观散射问题的标准分析方法。