0228-2005 名情复 数学 P25

微分积分 定积分 最优化 切线方程

図に示すように，関数 $y=e^x$ に折れ線 ABC が接している．以下の設問に答えよ．
［１］　折れ線 ABC を $y=f(x)$ とする．$f(x)$ を求めよ．
［２］　$x$ 軸と $y=f(x),x=-1,x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ．
［３］　折れ線 ABC と曲線 $y=e^x$ で囲まれた部分の面積を求めよ．
［４］　折れ線 ABC が曲線 $y=e^x$ をもっともよく近似する場合の点 B の座標を求めよ．

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解答：

［１］
線分 AB, BC と曲線 $y=e^x$ との接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha ,\beta (-1\le \alpha <b<\beta \le 1)$ とおく。
各接線の方程式は $y=e^{\alpha }(x-\alpha )+e^{\alpha }$ および $y=e^{\beta }(x-\beta )+e^{\beta }$ であるため、

$$\boxed{f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{\alpha }x+e^{\alpha }(1-\alpha )& (-1\le x\le b)\\ e^{\beta }x+e^{\beta }(1-\beta )& (b\le x\le 1)\end{array}}$$

［２］
求める面積を $S$ とする。

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{-1}^b\{e^{\alpha }x+e^{\alpha }(1-\alpha )\}dx+{\int }_b^1\{e^{\beta }x+e^{\beta }(1-\beta )\}dx\\ & =e^{\alpha }{\left[\frac{1}{2}{x}^2+(1-\alpha )x\right]}_{-1}^b+e^{\beta }{\left[\frac{1}{2}{x}^2+(1-\beta )x\right]}_b^1\\ & =e^{\alpha }\left(\frac{1}{2}{b}^2+(1-\alpha )b-\alpha +\frac{1}{2}\right)+e^{\beta }\left(\frac{3}{2}-\beta -\frac{1}{2}{b}^2-(1-\beta )b\right)\\ & =\frac{1}{2}{e}^{\alpha }(b+1)(b-2\alpha +1)+\frac{1}{2}{e}^{\beta }(1-b)(3+b-2\beta )\end{array}$$ $$\boxed{\frac{1}{2}{e}^{\alpha }(b+1)(b-2\alpha +1)+\frac{1}{2}{e}^{\beta }(1-b)(3+b-2\beta )}$$

［３］
求める面積を $T$ とする。

$$\begin{array}{rl}T& ={\int }_{-1}^1{e}^{x}dx-S\\ & ={\left[e^x\right]}_{-1}^1-S\\ & =e-e^{-1}-\left\{\frac{1}{2}{e}^{\alpha }(b+1)(b-2\alpha +1)+\frac{1}{2}{e}^{\beta }(1-b)(3+b-2\beta )\right\}\end{array}$$ $$\boxed{e-e^{-1}-\frac{1}{2}{e}^{\alpha }(b+1)(b-2\alpha +1)-\frac{1}{2}{e}^{\beta }(1-b)(3+b-2\beta )}$$

［４］
$T$ が最小となるのは $S$ が最大のときである。$x=b$ における $f(x)$ の連続性より $e^{\alpha }(b-\alpha +1)=e^{\beta }(b-\beta +1)$ であり、$b$ は $\alpha ,\beta$ の関数となる。ライプニッツの積分法則と連続性の条件により、境界 $b$ に関する微分の項は相殺されるため、

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial S}{\partial \alpha }& ={\int }_{-1}^b\frac{\partial }{\partial \alpha }\{e^{\alpha }(x-\alpha +1)\}dx={\int }_{-1}^b{e}^{\alpha }(x-\alpha )dx=\frac{1}{2}{e}^{\alpha }(b+1)(b-2\alpha -1)=0\\ \frac{\partial S}{\partial \beta }& ={\int }_b^1\frac{\partial }{\partial \beta }\{e^{\beta }(x-\beta +1)\}dx={\int }_b^1{e}^{\beta }(x-\beta )dx=\frac{1}{2}{e}^{\beta }(1-b)(1+b-2\beta )=0\end{array}$$

$b\in (-1,1)$ であるから、$\alpha =\frac{b-1}{2},\beta =\frac{b+1}{2}$ を得る。
これを連続性の条件式に代入して、

$$\begin{array}{rl}{e}^{\frac{b-1}{2}}\left(b-\frac{b-1}{2}+1\right)& =e^{\frac{b+1}{2}}\left(b-\frac{b+1}{2}+1\right)\\ e^{\frac{b-1}{2}}\frac{b+3}{2}& =e^{\frac{b+1}{2}}\frac{b+1}{2}\\ b+3& =e(b+1)\\ b(e-1)& =3-e\\ b& =\frac{3-e}{e-1}\end{array}$$

このとき、点 B の $y$ 座標は、

$$\begin{array}{rl}{y}_B& =e^{\frac{b-1}{2}}\frac{b+3}{2}\\ & =e^{\frac{\frac{3-e}{e-1}-1}{2}}\frac{\frac{3-e}{e-1}+3}{2}\\ & =e^{\frac{2-e}{e-1}}\frac{e}{e-1}\end{array}$$ $$\boxed{\left(\frac{3-e}{e-1},\frac{e}{e-1}{e}^{\frac{2-e}{e-1}}\right)}$$

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这是一道结合了微积分与最优化理论的综合题，核心在于寻找最优的线性逼近以最小化逼近误差。第一问需要引入切点坐标作为参数来构建折线段的方程；第二问和第三问则是常规的定积分计算。第四问是本题的难点，要求在保证折线连续的约束条件下最大化折线下方的面积。求解时，将面积函数对切点参数求偏导，利用牛顿-莱布尼茨公式和函数连续性条件，可以巧妙地消去积分上限变动带来的复杂求导项，从而推导出最优切点必然位于各个区间中点的优美结论。将该结论代回连续性方程即可解出交点坐标。