0227-2005 名情复 数学 P24

线性代数 特征值 逆矩阵

以下の設問に答えよ.
［１］　次の行列$A$の固有値を求めよ.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$

［２］　問［１］で与えた行列$A$の逆行列$A^{-1}$とその固有値を求めよ.

［３］　一般に$n$次の正則行列$B$の固有値が${\lambda }_r(r=1,2,\cdots ,n)$のとき，逆行列$B^{-1}$の固有値を求めよ.

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解答：

［１］
固有方程式 $|A-\lambda I|=0$ より、

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 1& 1\\ 1& 2-\lambda & 1\\ 1& 1& 2-\lambda \end{array}\right|& =0\\ (4-\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2-\lambda & 1\\ 1& 1& 2-\lambda \end{array}\right|& =0\\ (4-\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 1& 0& 1-\lambda \end{array}\right|& =0\\ (4-\lambda )(1-\lambda {)}^2& =0\end{array}$$ $$\boxed{\lambda =1,1,4}$$

［２］
$A^{-1}$は余因子行列を用いて求める。$|A|=(4-0)(1-0{)}^2=4\ne 0$。

$$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& =\frac{1}{4}{\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\end{array}\right]}^T\\ & =\frac{1}{4}{\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right]}^T\\ & =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right]\end{array}$$

逆行列の固有方程式 $|A^{-1}-\mu I|=0$ より、

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}\frac{3}{4}-\mu & -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}-\mu & -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}-\mu \end{array}\right|& =0\\ \left(\frac{1}{4}-\mu \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}-\mu & -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}-\mu \end{array}\right|& =0\\ \left(\frac{1}{4}-\mu \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1-\mu & 0\\ 0& 0& 1-\mu \end{array}\right|& =0\\ \left(\frac{1}{4}-\mu \right)(1-\mu {)}^2& =0\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}{A}^{-1}& =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right]\\ \mu & =1,1,\frac{1}{4}\end{array}}$$

［３］
$B\mathbf{x}={\lambda }_r\mathbf{x}(\mathbf{x}\ne 0)$ とおく。
$B$ は正則行列であるため ${\lambda }_r\ne 0$ であり、両辺の左から $B^{-1}$ を掛ける。

$$\begin{array}{rl}{B}^{-1}B\mathbf{x}& ={\lambda }_r{B}^{-1}\mathbf{x}\\ \mathbf{x}& ={\lambda }_r{B}^{-1}\mathbf{x}\\ B^{-1}\mathbf{x}& =\frac{1}{{\lambda }_r}\mathbf{x}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{1}{{\lambda }_r}(r=1,2,\cdots ,n)}$$

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这道题主要考察了矩阵的特征值计算以及逆矩阵的性质。第一问通过求解特征方程得出特征值，计算行列式时利用了行列式的性质进行化简提取公因式以降低计算量。第二问要求计算逆矩阵，这里使用了伴随矩阵的方法求解，由于原矩阵是对称矩阵，其伴随矩阵和逆矩阵也都是对称的，接着根据第一问的相似方法直接计算出了逆矩阵的特征值。第三问是纯理论推导，证明了非奇异矩阵的逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的倒数。结合第三问的结论，可以验证第二问中求得的特征值恰好是第一问特征值的倒数，这种关联性在矩阵运算中非常常见且重要。