0226-2004 名情复 机械 P22

控制学 机械系统 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 伯德图

図のように，それぞればね定数$K$ [N/m]とダンパ係数$C$ [N・sec/m]のばねとダンパが接続され，ダンパの一端が固定されている。ばねの両端をそれぞれAとBとし，それらの点を原点とする座標系O-$x$，O-$y$を設ける。以下の問いに答えよ。なお，ばねの質量および空気抵抗は無視する。
[1] ダンパに加わる力$f$を変数$x$，$y$，およびばね定数$K$で表せ。
[2] また，$f=C\frac{dy}{dt}$であることに注意して，[1]の結果をこれに代入することによって，このばね-ダンパ系の微分方程式を求めよ。
[3] 上の[2]の結果をラプラス変換せよ。なお，$y$の初期値を$y(0)$とせよ。
[4] $y(0)=0$とし，$x$と$y$をそれぞれ入力と出力とするとき，このばね-ダンパ系の伝達関数を求めよ。
[5] 入力$x$を単位ステップとするときの出力$y(t)$を計算し，$y(t)$の時間変化の略図をかけ。
[6] [4]で求めた伝達関数に入力$x(t)=e^{j\omega t}$（$j$は虚数単位$\sqrt{-1}$である）を与えた場合のゲインと位相変化を表す式を求めよ。さらに，それらの結果をもとに$G(s)$のボード(Bode)線図の略図をかけ。

参考　ラプラス変換表

時間関数	ラプラス変換された関数	時間関数	ラプラス変換された関数
$\delta (t)$	$1$	$t{e}^{-at}$	$1/(s+a{)}^2$
$u(t)$	$1/s$	$\sin \omega t$	$\omega /(s^2+{\omega }^2)$
$t$	$1/s^2$	$\cos \omega t$	$s/(s^2+{\omega }^2)$
$(1/2)t^2$	$1/s^3$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\omega /\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$e^{-at}$	$1/(s+a)$	$e^{-at}\cos \omega t$	$(s+a)/\{(s+a{)}^2+{\omega }^2\}$
$df/dt$	$sF(s)-f(0)$	$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{-1}(0)}{s}$

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解答：

[1]
ばねの伸びは $x-y$ であるから，フックの法則よりダンパを引く力は次となる。

$$\boxed{f=K(x-y)}$$

[2]
[1]の式に $f=C\frac{dy}{dt}$ を代入する。

$$C\frac{dy}{dt}=K(x-y)$$ $$\boxed{C\frac{dy}{dt}+Ky=Kx}$$

[3]
両辺をラプラス変換する。

$$C(sY(s)-y(0))+KY(s)=KX(s)$$ $$\boxed{(Cs+K)Y(s)-Cy(0)=KX(s)}$$

[4]
$y(0)=0$ のとき，$(Cs+K)Y(s)=KX(s)$ となるため，伝達関数 $G(s)$ は次のように求まる。

$$\boxed{G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K}{Cs+K}}$$

[5]
単位ステップ入力の場合 $X(s)=\frac{1}{s}$ である。

$$Y(s)=\frac{K}{s(Cs+K)}=\frac{1}{s}-\frac{C}{Cs+K}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{K}{C}}$$

逆ラプラス変換表を用いて時間領域に戻す。

$$y(t)=1-e^{-\frac{K}{C}t}(t\ge 0)$$

略図： $t=0$ で $0$ から始まり，時間経過とともに単調増加し， $t\to \infty$ で $1$ に漸近する曲線。

[6]
$s=j\omega$ を代入し，周波数伝達関数を求める。

$$G(j\omega )=\frac{K}{j\omega C+K}=\frac{1}{1+j\frac{\omega C}{K}}$$

これよりゲイン $|G(j\omega )|$ と位相 $\angle G(j\omega )$ を計算する。

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{ゲイン： }& |G(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega C}{K}\right)}^2}}\\ \text{位相： }& \angle G(j\omega )=-\arctan \left(\frac{\omega C}{K}\right)\end{array}}$$

ゲイン線図略図：低域($\omega \ll K/C$)で0 dB，折れ点周波数 $\omega =K/C$ で -3 dB となり，高域では -20 dB/dec の傾きで直線的に減衰する。

位相線図略図：低域で $0^{\circ }$，折れ点周波数 $\omega =K/C$ で$-45^{\circ }$ を通り，高域( $\omega \to \infty$)で $-90^{\circ }$ に漸近する曲線。

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本题考察了机械系统的动态建模拉普拉斯变换以及系统的频率响应分析。首先通过分析弹簧与阻尼器的串联关系并利用胡克定律写出弹簧产生的恢复力，该力与阻尼器受到的粘性阻尼力平衡，从而建立起描述系统运动的一阶常微分方程。接着利用拉普拉斯变换的微分定理并代入初始条件，将时域中的微分方程转化为复频域中的代数方程。在初始状态为零的前提下直接求得系统的传递函数，形式上表现为典型的一阶惯性环节。对于单位阶跃响应，通过进行部分分式展开并查表求逆变换，可以得到一个从零开始逐渐趋近于稳态值一的指数上升响应函数。最后，通过将复变量替换为虚数频率算子推导出系统的幅频和相频特性解析式，据此可以描绘出伯德图的渐近线特征，即低频增益保持为零分贝平坦，高频段以每十倍频二十个分贝的速度衰减，同时相位从零度缓慢滞后并最终趋向于负九十度。