0225-2004 名情复 机械 P21

流体力学 理想流体 速度势 流函数 拉普拉斯方程

二次元渦なし流れに関する以下の問いに答えなさい．

[1] 速度ポテンシャルについて説明しなさい．
[2] 流れ関数について説明しなさい．
[3] 速度ポテンシャル $\varphi$ および流れ関数 $\psi$ は，ラプラス方程式を満たすことを示しなさい．
[4] 等ポテンシャル線（$\varphi =$一定）と流線（$\psi =$一定）は直交することを示しなさい．

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解答：

[1]
渦なし流れ（$\nabla \times \mathbf{v}=0$）において、速度ベクトル $\mathbf{v}=(u,v)$ をあるスカラー関数の勾配として表したとき、そのスカラー関数を速度ポテンシャルという。

$$\boxed{\mathbf{v}=\nabla \varphi \left(u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)\text{ を満たす関数 }\varphi }$$

[2]
二次元非圧縮性流れ（$\nabla \cdot \mathbf{v}=0$）において、連続の式を恒等的に満たすように定義される関数を流れ関数という。

$$\boxed{u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}\text{ を満たす関数 }\psi }$$

[3]
二次元非圧縮性流れの連続の式は以下で与えられる。

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$
これに速度ポテンシャルの定義 $u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}$ を代入する。
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)=0$$
$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=0$$
すなわち ${\nabla }^2\varphi =0$ となり、速度ポテンシャル $\varphi$ はラプラス方程式を満たす。(証明終)

また、二次元渦なし流れの条件は以下で与えられる。

$$\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$$
これに流れ関数の定義 $u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$ を代入する。
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)=0$$
$$-\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}\right)=0$$
すなわち ${\nabla }^2\psi =0$ となり、流れ関数 $\psi$ もラプラス方程式を満たす。(証明終)

[4]
等ポテンシャル線 $\varphi (x,y)=\text{const.}$ に沿った全微分はゼロとなる。

$$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy=udx+vdy=0$$
したがって、等ポテンシャル線の接線の傾きは次のように求まる。
$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }=-\frac{u}{v}$$
同様に、流線 $\psi (x,y)=\text{const.}$ に沿った全微分もゼロとなる。
$$d\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=-vdx+udy=0$$
したがって、流線の接線の傾きは次のように求まる。
$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }=\frac{v}{u}$$
両者の傾きの積を計算する。
$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }=\left(-\frac{u}{v}\right)\left(\frac{v}{u}\right)=-1$$
傾きの積が $-1$ となるため、等ポテンシャル線と流線は直交する。(証明終)

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这道题考察了二维无旋不可压缩流场中的核心概念。速度势的存在依赖于流场无旋的条件，而流函数的引入则是基于二维流场不可压缩进而满足连续性方程的前提。当流场既无旋又不可压缩时，由于偏导数的替换关系，这两个标量函数都会满足拉普拉斯方程，这就将复杂的流体力学运动求解转化为了求解调和方程的纯数学问题。在证明正交性时，通过分别对等势线和流线方程求全微分，可以分别得到它们在流场中任意一点的切线斜率表达式，最后两者斜率相乘等于负一，直接证明了这两种曲线在流场中处处相互正交，这种正交网格网络在流体可视化以及利用复变函数保角变换求解复杂流动问题中起着至关重要的作用。