0224-2004 名情复 机械 P20

材料力学 悬臂梁弯曲 剪力 弯矩 挠度 平面应力状态 主应力

[1] 図1のような，幅 $b$, 高さ $h$ の一様な長方形断面を有する長さ $L$ の片持ちはりの先端に力 $P$ が作用する場合を考える．Bernoulli-Euler の仮定に基づくはり理論によれば，図1に示す $xyz$ 座標系に対して，$z$ 方向の変位 $w$ は曲げモーメント $M$，縦弾性係数 $E$，断面2次モーメント $I$ によって次式で表せる．

$$\frac{d^{2}w}{d{x}^2}=\frac{M}{EI}$$
次の問いに答えよ．

1. Bernoulli-Euler の仮定について説明せよ．
2. このはりにおける断面2次モーメント $I$ を $b,h$ を用いて表せ．
3. せん断力 $F$ の $0\le x\le L$ における分布を $P$ を用いて表せ．
4. 曲げモーメント $M$ の $0\le x\le L$ における分布を $P$ を用いて表せ．
5. $z$ 方向の変位 $w$ の $0\le x\le L$ における分布を $P,E,I$ を用いて表せ．
   
   [2] 平面応力状態の応力テンソルが次のように与えられているとき，主応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ を求めよ．
   $$\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2{\sigma }_0& -{\sigma }_0\\ -{\sigma }_0& 2{\sigma }_0\end{array}\right]$$
   ただし，${\sigma }_0$ は応力の次元を有した定数である．

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解答：

[1]

はりの変形前において中立面に垂直な横断面は、変形後も平面を保ち、かつ変形後の中立面に直交する。

断面2次モーメントの定義より積分する。

$$I={\int }_{-h/2}^{h/2}{z}^{2}bdz=b{\left[\frac{z^3}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}$$
$$\boxed{I=\frac{b{h}^3}{12}}$$

任意の位置 $x$ から自由端 $L$ までの部分の鉛直方向の力のつり合いより、せん断力は一定となる。

$$\boxed{F=P}$$

任意の位置 $x$ におけるモーメントのつり合いより、先端の荷重 $P$ によるモーメントを求める。

$$\boxed{M=P(L-x)}$$

曲げの微分方程式にモーメントの式を代入する。

$$\frac{d^{2}w}{d{x}^2}=\frac{P(L-x)}{EI}$$
$x$ について2回積分を行う。
$$\frac{dw}{dx}=\frac{P}{EI}\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)+C_1$$
$$w=\frac{P}{EI}\left(\frac{L{x}^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)+C_{1}x+C_2$$
境界条件として固定端 $x=0$ で $w=0,\frac{dw}{dx}=0$ であるため、$C_1=0,C_2=0$ となる。
$$\boxed{w=\frac{P}{6EI}(3L-x)x^2}$$

[2]

主応力は与えられた応力テンソルの固有値である。特性方程式を立てる。

$$\left|\begin{array}{cc}2{\sigma }_0-\sigma & -{\sigma }_0\\ -{\sigma }_0& 2{\sigma }_0-\sigma \end{array}\right|=0$$
$$(2{\sigma }_0-\sigma {)}^2-(-{\sigma }_0{)}^2=0$$
$${\sigma }^2-4{\sigma }_0\sigma +3{\sigma }_0^2=0$$
$$(\sigma -3{\sigma }_0)(\sigma -{\sigma }_0)=0$$
これより $\sigma =3{\sigma }_0,{\sigma }_0$ を得る。主応力は通常 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2$ とする。
$$\boxed{{\sigma }_1=3{\sigma }_0,{\sigma }_2={\sigma }_0}$$

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这道材料力学题目主要考察了悬臂梁弯曲问题以及平面应力状态下的主应力求解第一部分涉及经典的欧拉伯努利梁理论基本假设即平截面假设变形前垂直于中性轴的横截面在受弯变形后依然保持为平面并且与变形后的挠曲线正交矩形截面惯性矩的计算直接根据定义式进行积分即可得出对于截面内力的分布利用静力平衡条件截取自由端隔离体便能轻松得到均匀的剪力分布和线性变化的弯矩分布随后将弯矩表达式代入给定的挠度微分方程进行两次不定积分并结合固定端的位移和转角皆为零的边界条件从而唯一确定位移函数的精确解析表达式第二部分本质上是求解二维张量的特征值问题通过列出应力张量矩阵的特征多项式求解一元二次方程即可直接得到对应的两个主应力大小整个求解过程逻辑连贯紧密依赖于力学平衡与数学物理方程的基础知识。