0222-2004 名情复 机械 P3

力学 角动量守恒 圆周运动 微小振动 有效势能

一様重力中（重力加速度$g$）で、質量$m$の質点が水平面内（$x$-$y$面内）で糸につながれて、回転半径$R_0$、角速度${\omega }_0$で等速回転しており、円軌道の中心には鉛直（$z$軸方向）に置かれた滑らかな筒を通して糸に質量$M$のおもりが下げられ、手で支えられている。この状態から、手をゆっくり下げていき適当な位置までおろした所で手を離すと、おもりと円運動している質点とがつりあった。摩擦は考えないとして、以下の問いに答えよ。

[1] この質点の運動について、角運動量ベクトルが保存していることを示し、その角運動量ベクトルを求めよ。

[2] 手を下げていく途中で等速円運動の回転半径が$r$のときの角速度$\omega$を求め、円運動する質点を支えている糸の張力$T$を求めよ。

[3] おもりと円運動する質点がつりあったときの回転半径$R_1$を求めよ。またそのときの角速度${\omega }_1$を求めよ。

[4] 回転半径$R_0$から$R_1$に至る過程で、張力$T$がした仕事$W$を求めよ。

[5] つりあいの位置から、おもりをわずかに下げて離すと、上下に微小振動する。この振動数を求めよ。

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解答：

[1]
質点に働く張力 $\mathbf{F}$ は常に円軌道の中心（原点）を向く中心力である。原点に関する力のモーメント $\mathbf{N}$ は、質点の世界ベクトルを $\mathbf{r}$ とすると

$$\mathbf{N}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$$
角運動量 $\mathbf{L}$ の時間変化率は力のモーメントに等しいので
$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}=0$$
したがって、角運動量ベクトルは保存する。(証明終)
質点は $x$-$y$ 面内を反時計回りに回転しているとすると、角運動量ベクトルの向きは $z$ 軸正の向きである。
$$\boxed{\mathbf{L}=(0,0,m{R}_0^2{\omega }_0)}$$

[2]
角運動量保存則より、回転半径 $r$ のときについても角運動量の大きさは一定である。

$$m{r}^2\omega =m{R}_0^2{\omega }_0$$
$$\boxed{\omega =\frac{R_0^2{\omega }_0}{r^2}}$$
このとき、質点の円運動の運動方程式より、張力 $T$ は向心力となるため
$$T=mr{\omega }^2=mr{\left(\frac{R_0^2{\omega }_0}{r^2}\right)}^2$$
$$\boxed{T=\frac{m{R}_0^4{\omega }_0^2}{r^3}}$$

[3]
つりあいの状態では、糸の張力 $T$ とおもりに働く重力 $Mg$ が等しくなる。

$$\frac{m{R}_0^4{\omega }_0^2}{R_1^3}=Mg$$
$$\boxed{R_1=R_0{\left(\frac{m{R}_0{\omega }_0^2}{Mg}\right)}^{\frac{1}{3}}}$$
このときの角速度 ${\omega }_1$ は、[2]の式に $r=R_1$ を代入して
$${\omega }_1=\frac{R_0^2{\omega }_0}{R_1^2}=\frac{R_0^2{\omega }_0}{R_0^2{\left(\frac{m{R}_0{\omega }_0^2}{Mg}\right)}^{\frac{2}{3}}}$$
$$\boxed{{\omega }_1={\omega }_0{\left(\frac{Mg}{m{R}_0{\omega }_0^2}\right)}^{\frac{2}{3}}}$$

[4]
張力 $T$ がした仕事 $W$ は、質点の動径方向の変位に対する積分で求められる。質点に働く張力は動径方向内向きであるため、力は $-T$ となる。

$$W={\int }_{R_0}^{R_1}(-T)dr={\int }_{R_0}^{R_1}\left(-\frac{m{R}_0^4{\omega }_0^2}{r^3}\right)dr$$
$$W=-m{R}_0^4{\omega }_0^2{\left[-\frac{1}{2r^2}\right]}_{R_0}^{R_1}$$
$$\boxed{W=\frac{1}{2}m{R}_0^4{\omega }_0^2\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_0^2}\right)}$$

[5]
質点の回転半径を $r$ とすると、おもりの下向きの加速度と質点の動径方向内向きの加速度は等しくなる。系全体の運動方程式を動径方向について立てると

$$(M+m)\ddot{r}=\frac{L^2}{m{r}^3}-Mg$$
ここで $L=m{R}_0^2{\omega }_0$ は定数である。微小変位を $x=r-R_1$ とおくと $x\ll R_1$ であり、
$$\frac{1}{(R_1+x{)}^3}\simeq \frac{1}{R_1^3}\left(1-3\frac{x}{R_1}\right)$$
これを運動方程式に代入する。
$$(M+m)\ddot{x}\simeq \frac{L^2}{m{R}_1^3}\left(1-3\frac{x}{R_1}\right)-Mg$$
つりあいの条件 $\frac{L^2}{m{R}_1^3}=Mg$ を用いて整理すると
$$(M+m)\ddot{x}=-\frac{3Mg}{R_1}x$$
この式は単振動の運動方程式であり、角振動数 $\Omega$ は $\Omega =\sqrt{\frac{3Mg}{(M+m)R_1}}$ となる。求める振動数 $\nu$ は $\nu =\frac{\Omega }{2\pi }$ である。
$$\boxed{\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{3Mg}{(M+m)R_1}}}$$

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这道题考察了经典力学中的有心力场问题。质点在水平面内做圆周运动受到指向圆心的张力作用，张力关于原点的力矩为零使得质点的角动量守恒，这是解决整个问题的核心基础。在求解张力做功时，可以利用张力作为随半径变化的力的表达式直接进行积分求解，得到做功等于质点系统动能的改变。关于微小振动问题，关键在于将质点和悬挂物作为一个整体系统建立运动方程。由于连接质点和重物的绳子长度不变，重物的加速度大小等于质点径向加速度大小相反。在平衡位置附近将系统所受到的包含离心力的合力进行泰勒展开并保留一次项，消去常数项后即可得到类弹簧振子的恢复力系数，从而推导出系统上下振动的固有频率。这里的径向力可以看作是由包含离心势能的有效势能求导得来的。