0221-2004 名情复 数学 P2

线性代数 常微分方程 特征值与特征向量 矩阵对角化 一阶微分方程

[1] 次の行列$A$について、以下の問に答えなさい。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& b& b-c\\ b& 0& b\\ b-c& b& 0\end{array}\right](b\ne 0,c\ne 0)$$

1. 行列$A$の固有値を求めなさい。
2. 行列$A$を対角化できない条件を示しなさい。

[2] 変数$x$の関数$y(x)$に関する次の微分方程式について考える。

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2-3a^2}\frac{dy}{dx}\right]=0\left(0\le a<\frac{1}{3}\right)$$

1. $y(0)=0,y(1)=1$のもとで上記微分方程式を解き、$y(x)$を求めなさい。
2. $0\le x$において$y(x)$の概略図を描きなさい。
3. $0\le x$において$0\le y(x)$となるような$a$を求めなさい。

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解答：

[1]

行列$A$の固有多項式を$P(\lambda )$とおく。

$$\begin{array}{rl}P(\lambda )& =|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -b& -(b-c)\\ -b& \lambda & -b\\ -(b-c)& -b& \lambda \end{array}\right|\\ & ={\lambda }^3-(3b^2-2bc+c^2)\lambda -2b^2(b-c)\\ & =(\lambda -c+b)({\lambda }^2+(c-b)\lambda -2b^2)\end{array}$$

$P(\lambda )=0$を解くと、$\lambda =c-b$ または ${\lambda }^2+(c-b)\lambda -2b^2=0$である。二次方程式の解の公式より、固有値は以下の通り求まる。

$$\boxed{\lambda =c-b,\frac{b-c\pm \sqrt{c^2-2bc+9b^2}}{2}}$$

行列$A$が対角化できないのは、固有多項式が重解をもち、かつその重解に対する固有空間の次元が代数的重複度よりも小さいときである。
${\lambda }^2+(c-b)\lambda -2b^2=0$ が重解をもつとき、判別式より $c^2-2bc+9b^2=0$ である。このとき重解は $\lambda =\frac{b-c}{2}$ となり、代数的重複度は2となる。行列 $A-\frac{b-c}{2}I$ の階数を考えると、$b\ne 0$ より1行目と2行目が比例しないため階数は2であり、固有空間の次元は1となる。これは代数的重複度より小さいため、この条件のもとで $A$ は対角化できない。
$\lambda =c-b$ が ${\lambda }^2+(c-b)\lambda -2b^2=0$ の解であるとき、代入して整理すると $c=2b$ となる。このとき固有値は $b,b,-2b$ となる。$A-bI$ を計算するとすべての行が比例し、階数は1となるため、固有空间の次元は2となり代数的重複度と等しく、$A$ は対角化可能である。
以上より、求める条件は以下の通りである。

$$\boxed{c^2-2bc+9b^2=0}$$

[2]

与えられた微分方程式の両辺を $x$ について積分する。

$$\frac{1}{x^2-3a^2}\frac{dy}{dx}=C_1$$ $$\frac{dy}{dx}=C_1(x^2-3a^2)$$

さらに積分を行う。

$$y(x)=C_1\left(\frac{x^3}{3}-3a^{2}x\right)+C_2$$

$y(0)=0$ より $C_2=0$ である。$y(1)=1$ より $C_1\left(\frac{1}{3}-3a^2\right)=1$ となる。$0\le a<\frac{1}{3}$ より $\frac{1}{3}-3a^2>0$ であるから、$C_1=\frac{3}{1-9a^2}$ と定まる。したがって、求める解は以下のようになる。

$$\boxed{y(x)=\frac{x^3-9a^{2}x}{1-9a^2}}$$

$y(x)$ を因数分解すると $y(x)=\frac{x(x-3a)(x+3a)}{1-9a^2}$ となる。また導関数は $y^{\prime }(x)=\frac{3(x^2-3a^2)}{1-9a^2}$ である。
$0\le x$ における増減を調べると、$x=\sqrt{3}a$ のとき $y^{\prime }(x)=0$ となり、ここで极小值をとる。$x=0$ で $y(0)=0$、$x=3a$ で $y(3a)=0$ であり、$x$ が無限大に近づくと $y(x)$ も無限大に発散する。概略図の特徴を文字で以下にまとめる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{原点 }(0,0)\text{ を出発し、}0\le x<\sqrt{3}a\text{ で単調減少する。}\\ & x=\sqrt{3}a\text{ で極小値 }\frac{-6\sqrt{3}{a}^3}{1-9a^2}\text{ をとる。}\\ & \text{その後は単調増加に転じ、}x=3a\text{ で }x\text{ 軸と交わる。}\\ & \text{さらに点 }(1,1)\text{ を通って、無限大へ向かって増加し続ける曲線。}\end{array}}$$

$0\le x$ において常に $0\le y(x)$ となるためには、$0\le x$ における $y(x)$ の最小値が0以上でなければならない。先の増減の考察より、$y(x)$ は $x=\sqrt{3}a$ で最小となる。

$$y(\sqrt{3}a)=\frac{-6\sqrt{3}{a}^3}{1-9a^2}\ge 0$$

$1-9a^2>0$ かつ $a\ge 0$ であるため、この不等式が満たされるのは $a=0$ のときのみである。$a=0$ のとき $y(x)=x^3$ となり、条件を十分に満たす。

$$\boxed{a=0}$$

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对于第一题，解答的核心在于正确求解特征多项式并分析矩阵可对角化的条件。实对称矩阵通常是可以对角化的，但由于题目并未强制说明参数必须为实数，因此在复数域内通过判别式寻找特征值存在多重根的情况，并结合特征空间维数进行严密计算是得出正确非对角化条件的关键。对于第二题，这是一个变量可分离的常微分方程，通过两边直接积分并代入边界条件可顺理成章解出含有未知参数的函数解析式。第二小问受限于文本表达方式，通过细致描述函数在正半轴的单调性、极值点和零点分布来替代直观作图，这也完全涵盖了描绘函数概略图所需的全部核心数学特征。最后一问则巧妙利用了之前求得的极小值表达式，结合给定的参数范围直接锁定唯一符合整体非负条件的参数值，逻辑自然连贯。